複素数平面

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 文字列作成に関する確率漸化式についての問題です。 問題文が長く、把握に時間がかかりそうですが、読み解いてみると、 ①：確率 \(\displaystyle \frac{2}{3}\) で末尾に A を追加 ②：確率 \(\displaystyle \frac{1}{3}\) で末尾に B を追加 ③：AAA というような A の３連続は不可 ④：BB というような B の 2 連続は不可 というルールで文字列を作成していくという単純なルールで ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 円板上の点と円周上の点を両端にもつ線分の中点の存在領域を考える問題です。 複素数 \(x\) ,  \(y\) はお互いに干渉することなく、独立に動くため、 まずは片方を固定し、１つずつ動かす という予選決勝法の考え方で捌いていくことを考えます。 その際、先にどちらを固定するかという点で体感のやりやすさ・やりにくさが若干変わってきます。 複素数を複素数のまま扱う方法もありますし、実部・虚部を持ち出し、 \(z=p+qi\) などとおいて、この ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 複素数平面上での円上の点が表す複素数を解にもつ４次方程式についての問題です。 図形的な意味合いと式的な意味合いを結びつける力も要求され、総合的な力が問われています。 (1) はなまじ形がキレイな結論であるため、逆にアタフタするかもしれませんが、冷静に沈めたいところです。 (2) は \(p\) ,  \(q\) ,  \(r\) ,  \(s\)  を解 \(\alpha\) ,  \(\beta\) の情報を含む \(t\) ,  \(u\ ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 複素数平面上で帰納的に定まる図形の列について考える問題です。 試しに \(C_{1}\)から \(C_{2}\) を作ってみると、構造や要領がつかみやすいと思いますし、 それができるなら \(C_{n}\)から \(C_{n+1}\) を作るのもできるはずです。 変換の意味を考えてみると、 \(\displaystyle \frac{1}{2}\) 倍縮小＆平行移動 で、半径がどんどん半分になっていく円であることは想像できる人にはできるのでし ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 相反方程式と、複素数平面における三角形の形状決定問題です。 相反方程式とは、 係数が外側から左右対称になっている方程式 のことで、特有の捌き方をするテーマ性のある話題です。 知識的側面が強いですが、難関大を目指すにあたっては準備していて然るべき定番の話題とも言えます。 相反方程式については を参考にしてください。 (2) の複素数平面における三角形の形状決定問題については、\(\alpha\) ,  \(\beta\) ,  \(\gamma ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） \(1\) の \(5\) 乗根に関する論証問題です。 \(1\) の \(5\) 乗根に関する整式の問題は今年の京大でも出題がありました。 (1) で \(\alpha\) が \({\alpha}^{4}+{\alpha}^{3}+{\alpha}^{2}+{\alpha}+1=0\) を満たしていることが分かりますから、\({\alpha}\) が \(1\) の \(5\) 乗根であることを見抜くのは、東北大受験生であれば無理はありま ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） とてもシンプルな題意ですが、見かけとは裏腹にとっかかりが見えにくい難問です。 「逆ならいえるのに」という類の問題で論証色が強いため、傷がないように話を進めるとなると神経も使います。 千葉大の整数問題は割と本格的な問題も多いため、試験場では取捨選択も含めた判断がいるでしょう。 （以下ネタバレ注意）   + クリック（タップ）して続きを読む 路線１：有理数の設定 ひとまず、 \((a+bi)^{2}=(a^{2}-b^{2})+2abi ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） １次分数変換による点の軌跡を求める定番の話題です。 手元に \(|z-\displaystyle \frac{3}{2}|=r\) という \(z\) を縛っている式があります。 この状況で、\(w\) を縛っている式を Get したいわけです。 \(z\) ,  \(w\) の関係式である \(z+w=zw\) という式から \(z=w の式\) という形にして、先ほどの \(|z-\displaystyle \frac{3}{2}|=r\ ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） ３つの複素数 \(\alpha\) ,  \(\beta\) ,  \(\gamma\) が正六角形の頂点のどれかと対応しており、その対応を考える問題です。 どれがどれに対応するかを求めるという一見面食らう設定ではありますが、適切な誘導がありますから、うまく誘導に乗って走り切りたいところです。 (1) は \(4{\alpha}^{2}-2\alpha \beta+{\beta}^{2}=0\) の両辺を \({\alpha}^{2}\) で ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 複素数平面における標準的な問題です。 複素数平面からの出題は2018年度以来です。 不気味なぐらい基本的な難易度であり、今年の北大のセットでは落としてはならない問題です。 確保するのは前提としたうえで、どれだけ時間的余裕を捻出できるかという次元の問題だと思います。 円の方程式 垂直二等分線 図形の交点 ド・モアブルの定理 という基本事項がバランスよく入っており、さらに捻った要素もほぼないため、これら基本事項の単純運用で解決してしまいます。 来 ...