合成関数と割り算【複２次式の割り算とその発展】【1999年度防衛大学ほか】

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）

類題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）

題意はすぐに読み取れるでしょう。

例題に関しては正直煮るなり焼くなり色々出来ると思います。

どちらかというと例題は噛ませ犬的な立ち位置で、実際に考えてもらいたいのは類題の方です。

（以下ネタバレ注意）

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例題について

例題はこちら（再掲）（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）

方針１：頭とケツを見て因数分解

ひとまず、 $f(0)=1$ を満たす２次式 $f(x)$ は

$f(x)=ax^{2}+bx+1$ ( $a \neq 0$ )

と設定できます。

これにより

$f(x^{2})=ax^{4}+bx^{2}+1$

となります。

この $f(x^{2})$ が $f(x)$ で割り切れるわけです。

４次式を２次式で割った商は２次式ですから、最高次の係数 (頭)と、定数項(ケツ)を見て

$ax^{4}+bx^{2}+1=(ax^{2}+bx+1)(x^{2}+cx+1)$

という形で表すことができるでしょう。

つまり、これを $x$ の恒等式と見て、係数比較すればよいことになります。

未知数が $a$ , $b$ , $c$ と３つあるのに対して、

$x^{3}$ , $x^{2}$ , $x$ の係数比較

という３本の条件式が立ちますから、勝負ありです。

方針２：ガチで割り算する

$ax^{4}+bx^{2}+1$ を $ax^{2}+bx+1$ でガチで割り算して余りを出してしまい、その余りが $0$ と恒等的に等しいと処理してもよいでしょう。

この場合、必要なのは計算力と集中力であり、発想面での負担はありません。

類題について

類題はこちら（再掲）（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）

例題と違い、 $f(x^{n})=x^{2n}+ax^{n}+b$ ですから、例題と違い、直接的な路線がとれません。

打開策がとれるかどうかは、問題の分析力と観察力にかかってきます。

打開策：全称命題と見抜く

任意の自然数 $n$ に対して $f(x^{n})$ が $f(x)$ で割り切れるのですから、 $n=2$ のとき、すなわち

$f(x^{2})$ だって $f(x)$ で割り切れる

ということが言えます。

このことから、 $a$ , $b$ の値が特定されます。

もちろん、これらの $a$ , $b$ はこの段階では答えの資格はありません。

これらの $a$ , $b$ が $n=3 \ , \ 4 \ , \ \cdots$ でも題意を満たすかどうかの確認をする必要があるわけです。

「すべての ○○ に対して □□ が成り立つ」

という命題を全称命題と言います。

全称命題については、

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