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単元学習や定期考査段階では上級テーマに位置づけられる問題です。
ただ、入試の実戦段階では定番のテーマであり、対応できてほしいタイプの話題です。
(1) , (2) は基本で、 (3) , (4) が今回のテーマである「大小関係の決まった順列」を扱った設問です。
（以下ネタバレ注意）
+ クリック（タップ）して続きを読む 取り方の総数は \(9^{4}\) 通りです。 このうち、４回とも異なる数字を取るという取り方は １回目：９通り ２回目：１回目で取った数以外の８通り ３回目：１回目、２回目で取った数以外の７通り ４回目：１～３回目で取った数以外の６通り であり、\(9\cdot8\cdot7\cdot6\)通りです。 もちろん、\({}_9 \mathrm{ P }_4\) 通りとやってもよいです。 題意の取り方は \(a \ , \ a \ , \ b \ , \ b\) というような取り方です。 \(a\) , \(b\) の決め方は \({}_9 \mathrm{ C }_2\) 通り この \(a \ , \ a \ , \ b \ , \ b\) の並べ方の数だけ、\((a_{1} \ , \ a_{2} \ , \ a_{3} \ , \ a_{4})\) の決め方があるため、求める確率は \(\displaystyle \frac{{}_9 \mathrm{ C }_2 \cdot \displaystyle \frac{4!}{2!\cdot2!}}{9^{4}}\) ということになります。 単元学習の段階でやらせてみると、頭を抱えてしまう人が多いです。 結局、９つの数の中から、異なる４つの数を選びさえすれば 小さい方から \(a_{1}\) , \(a_{2}\) , \(a_{3}\) , \(a_{4}\) に対応させる だけです。 つまり、求める確率は \(\displaystyle \frac{{}_9 \mathrm{ C }_4}{9^{4}}\) ということになります。 頭を抱えていた人は、解答を聞くと悔しそうな顔をしています。 等号が入ると勝手が違ってきます。 \((a_{1} \ , \ a_{2} \ , \ a_{3} \ , \ a_{4})=(3 \ , \ 3 \ , \ 7 \ , \ 8)\) のように という、いわゆる「重複組合せ」の問題です。 重複組合せの問題では 重複組合せのポイント
〇と仕切りを並べて対応を考える というのが基本になります。 今回は４つの〇と８本の仕切りを用意します。 ８本の仕切りによって９つの領域に分かれます。 この９つの領域にある〇の個数を左から １の個数 , ２の個数 , \(\cdots\) , ９の個数 と対応させることにします。 例えば ｜｜〇｜〇｜｜｜｜〇〇｜ という並びは ３を１個、４を１個、８を２個使用する ということを表し、 \((a_{1} \ , \ a_{2} \ , \ a_{3} \ , \ a_{4})=(3 \ , \ 4 \ , \ 8 \ , \ 8)\) に対応します。 本問はこのように どの数字を何個使うのか という「個数の内訳」だけが問題です。 ある意味この「個数の内訳」という急所が「〇仕切り問題」をインスピレーションするシグナルになっていきます。 なお、解くこと以上に記述の仕方が難しいと思います。(1) について
(2) について
(3) について
(4) について
具体例