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正多面体の色の塗り分け問題です。
よくあるのは立方体の色の塗り分けですが、本問は少しそれを発展させて正八面体の塗り分けを考えてみます。
（以下ネタバレ注意）
+ クリック（タップ）して続きを読む 円順列（回転による一致）を考える際の基本は 誰か一人の眼から見て、他がどうなっているか ということです。 例えば、遊園地にあるコーヒーカップというアトラクションがありますね。 あれに、お父さん、お母さん、息子の３人が乗ると思ってください。 クルクル回っているからと言って座り方が変わったと思いますか？ 座り方の違いを感じるのは、例えばお父さんでしょう。 お父さんの眼から見て であれば、違いを感じることと思います。 一般に異なる \(n\) 個の円順列は \((n-1)!\)通り と習うでしょうが、この \(-1\) の意味は、まさに 誰か一人の眼から見て、残りの \(n-1\) 個がどうなっているかが問題である ということの現れです。 色の塗り分け問題の解答などに 「赤を上面として固定する」 などという記述や解答があって、 「なんで、赤はここでいいんですか？」 などという質問が来ます。 赤の眼から見て、他がどうなっているのかが問題であって、赤の場所など知ったこっちゃないというわけです。 (1) については、直接正八面体のまま考えても何とかなるでしょう。 頂点についての回転対称性はまだ目で追っていけるからです。 しかし、(2) , (3) についてが問題です。 面についての回転対称性は、正八面体のまま考えると少し骨が折れます。 このまま腕力で押し切ることもできるにはできますし、試験場であればそういう路線も致し方ないでしょう。 ここでは勉強のために一工夫する方法を考えてみます。 ※【総括】の中で、正八面体のまま考える路線について少しだけ触れてあります。 のように、 ということが言えます。 このとき、正六面体と正八面体は 双対 ( dual ) である と言います。 ちなみに他の正多面体で言えば です。 (2) は正八面体の面に色を塗ると言っていますが、 立方体の頂点に色を塗る として考えても同じことです。 正八面体と立方体のどちらが考えやすいかと言えば、そりゃ立方体でしょう。 そうなると、(2) は (2) 立方体の２つの頂点を赤に、残りの頂点を白に塗るとき、塗り方は何通りあるか。 という問題になりますし、(3) は (3) 立方体の３つの頂点を赤に、残りの頂点を白に塗るとき、塗り方は何通りあるか。 という問題になります。 こうなってくると、もはや色の塗り分けと言うよりは 相対的に見た２点（３点）の位置関係のパターン を追っていくことになるでしょう。円順列の基本
よくある疑問や質問
本問において
双対構造の利用
今回の応用例