思いつきやすい方針
軌跡の基本は (X \ , \ Y) とおき、X , Y の関係式を Get しにいくという路線です。
そこで、交点を具体的に求めてしまうというのが、多くの人が考える方針だと思います。
実際に、l , m の式を連立方程式と見なして解き、交点を求めると
(\displaystyle \frac{-2k+2}{k^{2}+1} \ , \ \displaystyle \frac{k^{2}-2k-1}{k^{2}+1})
ということになり、交点を (X \ , \ Y) とすると
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
X =\displaystyle \frac{-2k+2}{k^{2}+1} \\
Y = \displaystyle \frac{k^{2}-2k-1}{k^{2}+1}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
となります。
ここから X , Y の関係式を Get しにいきたい、すなわちパラメータ k を消去したいわけですが、それが中々困難です。
ここから打破するには
見えるかどうかは経験が左右する部分が大きいのですが、(X \ , \ Y) という点はそもそも
kx+y+1=0 という直線 m 上の点
です。
つまり、kX+Y+1=0 という関係式を満たしています。
場合分けが必要にはなりますが、細かなことを抜きにすれば、k=\displaystyle \frac{-Y-1}{X} と、k を消去できます。
別の考え方
直接交点を追っていくことが難しかったので、
(1 \ , \ 3) は交点になれる？
(2 \ , \ 5) は交点になれる？
(-1 \ , \ \displaystyle \frac{1}{4}) は交点になれる？
\vdots
というしらみつぶしの考え方（逆像法）で仕留めることも可能です。
逆像法の考え方の基本
逆像法の考え方の基本についてはテーマ別演習
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というシリーズの中で解説しています。
逆像法の考え方に基づき
- (X \ , \ Y) は交点になれる？
- なれるとしたらどんな (X \ , \ Y) ？
と考えます。
そうなると、
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
(k+1)X+(1-k)Y+k-1=0 \\
kX+Y+1=0
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
という連立方程式の解になり得るか？
すなわち、これらをともに満たす実数 k が存在するかどうか？
を考えることになります。
方針の比較
思いつきやすさで言えば、実際に交点を求める方針でしょう。
ただし、その後については多少の経験に基づく工夫が必要です。
逆像法の路線については、そもそも逆像法自体、上級テーマの一つですから慣れていない受験生も沢山いるでしょう。
（難関大を目指すのであれば自分のものにしておきたいテーマですが）
今回のテーマである「２直線の交点の軌跡」については
行為１：『交点を求める』→ X , Y を k で表す
行為２：『軌跡を求める』→ k を消去して X , Y の関係式を作る
と、目標が真逆です。
これが困難を生んでいる原因の一つでしょう。
本来の目的は「軌跡を求める」という「行為２」であり、それを達成するにあたって真逆の行為である「行為１」を行うのは、ある意味無駄です。
そう考えると、交点に触れない「逆像法」の路線が合理的だと言えると思います。
類題について
類題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）
逆像法の路線が合理的と言っておきながら、交点を求める作業をさせている問題を類題としてもってきました。
恐らく、出題の意図は
「交点を出してから、文字消去してごらん？難しいでしょ？」
という「難しさを実感させる」ということでしょう。（かなり好意的に解釈しましたが）
類題では、例題で解説している方法に加え
「幾何的な考察」
についても触れてあります。
例題の解答はコチラ
類題の解答はコチラ
