√nの小数部分の評価【小数首位について】【2019年度 名古屋大学】

与えられた条件を数式で表現する

題意の条件を式的に翻訳すると

\(0.01 \leq \sqrt{n}\) の小数部分 \(\lt 0.1\)

すなわち、\([\sqrt{n}]\) を \(\sqrt{n}\) の整数部分とすると

\(10^{-2} \leq \sqrt{n}-[\sqrt{n}] \lt 10^{-1}\)

ということになります。

２乗して整理すると

\([\sqrt{n}]^{2}+\displaystyle \frac{1}{50}[\sqrt{n}]+\displaystyle \frac{1}{10000} \leq n \lt [\sqrt{n}]^{2}+\displaystyle \frac{1}{5}[\sqrt{n}]+\displaystyle \frac{1}{100}\)

です。

個人差があると思いますが、自分はガウス記号は目がチカチカして見づらいので、\([\sqrt{n}]=k\) と名前を付けます。

すると

\(k^{2}+\displaystyle \frac{1}{50}k+\displaystyle \frac{1}{10000} \leq n \lt k^{2}+\displaystyle \frac{1}{5}k+\displaystyle \frac{1}{100}\)

ということになります。

実験してみる

\(k=1\) としてみると

\(1+\displaystyle \frac{1}{50}+\displaystyle \frac{1}{10000} \leq n \lt 1+\displaystyle \frac{1}{5}+\frac{1}{100}\)

となり、これを満たす整数 \(n\) はありません。

\(k=2\) としてみると

\(4+\displaystyle \frac{1}{25}+\displaystyle \frac{1}{10000} \leq n \lt 4+\displaystyle \frac{2}{5}+\frac{1}{100}\)

となり、これを満たす整数 \(n\) はありません。

この実験から

\(k^{2}+\)(ゴミ) \(\leq n \lt k^{2}+\)(ゴミ)

だと間に挟まれる整数 \(n\) が存在できないことが分かります。

そのため、ある程度の「幅」が必要になってきます。

そうなってくると、目につくのは

\(k^{2}+\displaystyle \frac{1}{50}k+\displaystyle \frac{1}{10000} \leq n \lt k^{2}+\displaystyle \frac{1}{5}k+\displaystyle \frac{1}{100}\)

の最右辺の \(\displaystyle \frac{1}{5}k\) が整数となるような \(k=5\) という値です。

試しに \(k=5\) を代入してみると

\(25+\displaystyle \frac{1}{10}+\displaystyle \frac{1}{10000} \leq n \lt 26+\displaystyle \frac{1}{100}\)

となり、これを満たす整数 \(n\) として \(n=26\) が見つかり、これが題意を満たす最初の \(n\) ということになります。

この後も同じ要領で実験を粘っていくと

実験しているうちに 10 番目の \(n\) が求まってしまうと思います。

もう少しアクセルを踏むとしたら

ぐらいでしょうか。

【総括】の中で計算していますので、見る前に考えてみてください。

\(\sqrt{n}\) に関する整数問題

という問題も扱ってますのでぜひどうぞ

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