対称式についての論証【基本対称式の符号】【2007年度 愛媛大学】

本問の出どころ

本問の出どころは恐らく２文字の基本対称式についての以下の性質でしょう。

本問は

「２文字の基本対称式についての性質を、３文字に拡張して考えてみてください」

という趣旨で作られたのだと思います。

(1) について

$x \gt 0$ という条件から $a+b+c \gt 0$ ,  すなわち

$c \gt -(a+b) \cdots$①

という結果となります。

与えられた条件の中で $c$ だけ仲間外れにされているという感じですから、

$y=ab+c(a+b)$

と $c$ で括ってやり、① を用いて $c$ を消してやることを考えます。

すると $y \lt ab-(a+b)^{2}$ , すなわち

$y \lt -(a^{2}+ab+b^{2})$

となるため、$y \lt 0$ という結論を得ることができます。

(2) について

$a \gt 0 \ , \ b \gt 0 \ , \ c \gt 0 \Rightarrow  x \gt 0 \ , \ y \gt 0 \ , \ z \gt 0$

はほぼ明らかですから、結局は

$x \gt 0 \ , \ y \gt 0 \ , \ z \gt 0 \Rightarrow  a \gt 0 \ , \ b \gt 0 \ , \ c \gt 0$

を証明することになります。

その際に (1) が強力に効いてきます。

今回、$z \gt 0$ であることから

のいずれかが言えることになります。

① であることが言いたいので、② を否定すれば解決します。

仮に $a \lt 0$ ,  $b \lt 0$ としてみると、$x \gt 0$ であることを併せれば、(1) から $y \lt 0$ ということになり、

$x \gt 0 \ , \ y \gt 0 \ , \ z \gt 0$ ということに矛盾します。

もちろん、文字の対称性から

$b \lt 0$ ,  $c \lt 0$

$c \lt 0$ ,  $a \lt 0$

と仮定しても、同様に矛盾します。

(3) について

(2) では不等号でしたが、それを合同式として扱うだけだと気が付けば、手が進むはずです。

すなわち、法を $3$ として

$x \equiv 0 \ , \ y \equiv 0 \ , \ z \equiv 0 \Leftrightarrow  a \equiv 0 \ , \ b \equiv 0 \ , \ c \equiv 0$

を目指します。

これも (2) 同様

$a \equiv 0 \ , \ b \equiv 0 \ , \ c \equiv 0 \Rightarrow  x \equiv 0 \ , \ y \equiv 0 \ , \ z \equiv 0$

はほぼ明らかですから

$x \equiv 0 \ , \ y \equiv 0 \ , \ z \equiv 0 \Rightarrow  a \equiv 0 \ , \ b \equiv 0 \ , \ c \equiv 0$

ということが言えれば解決です。

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