確率漸化式【状態推移をとらえる練習】【立式した漸化式の処理】【2007年度 お茶の水女子大学】

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   じゃんけんを扱った問題です。 今回のゲームがもつ構造を私は 「ドロップアウト構造」 と呼んでいます。 今回だと３人からスタートして ３人 → ３人 → ３人 → \(\cdots\) → 2 人 → 2 人 → \(\cdots\) → 2 人 → \(\cdots\) というようにどんどん脱落していくような構造です。 じゃんけんはドロップアウト構造の典型例です。   実はじゃんけんに限らず、このドロップアウト構造をも ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   確率漸化式の標準問題の多くは、基本的な漸化式の処理力があれば、どちらかというと得点源になる分野です。 本問の場合、機械的な態度になりがちなこの分野の問題において、思考要素を含む問題であり、面白い良問だと思います。 確率の問題では 漸化式を導入するかどうか ということは、方針決定において非常に大きな選択です。 通常の問題であれば、 「～～の確率を \(p_{n}\) とおく」 「\(p_{n+1}\)  を  \(p_{n}\)  ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   \(n\) 角地図という独特な言い回しが目につく問題です。   ４色定理 境界線で囲まれるいくつかの領域からなる平面図形があり、境界線を共有する隣り合った領域は異なった色で塗らなければならない。 このとき、この平面図形を塗り分けるには４色あれば十分である。 という主張があり、長年未解決問題で、４色問題と呼ばれていました。 現在は解決し、４色定理と呼ばれています。 証明はコンピューターを利用したかなり強引な力業による証明 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   仮想難関大シリーズということで、東大、京大をはじめとする旧帝大、東工大、国公立大学医学部医学科などの難関国公立大を想定したオリジナルの自作問題です。 「手垢の付いていない問題で最後の力試しがしたい」 という方はぜひご活用ください。   今回の問題は「あの大学を意識して作問したな」みたいなことが分かる人には分かると思います。     + クリック（タップ）して続きを読む 本問は名古屋大学の問題を意識し ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   破産の確率と呼ばれるタイプの問題で、初見で解ききることは極めて困難です。 (1)、(2) は回数制限があるため、具体的に状態推移を追っていくことが可能です。 実際に(1)、(2) についてはできれば確保したいですが、筋が悪いと右往左往しかねません。 （以下ネタバレ注意） + クリック（タップ）して続きを読む (3)が今回話題の「破産の確率」です。 普通に考えると埒があきません。 直接計算で追うことは難しいので、漸化式を導入します ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 漸化式は問題を解く中で処理しなければならない場面が多々あります。 確率漸化式などの確率や場合の数の分野との融合 点列など、座標との融合 整数問題との融合 など、漸化式は道具として使う場面が多々あります。 漸化式が立式できても、それが解けないとなると意味がありませんから、基本的な漸化式についてはきちんと処理できる必要があります。 そこで基本的な漸化式について一通りこのシリーズで押さえておきたいと思います このシリーズの一覧はこちら   ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） このシリーズの一覧はこちら   前回の第１講で扱った Type 1 \(a_{n+1}=pa_{n}+q\)  ( \(p \neq 1\) ) の派生形として今回は Type 2 (心霊写真型) \(a_{n+1}=pa_{n}+q^{n}\)  ( \(p \neq 1\) )  ( \(q\) の肩になんか乗ってる ) というタイプを扱います。   この心霊写真型の除霊の仕方は２パターンあり 心霊写真型の除霊の仕方 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） このシリーズの一覧はこちら   漸化式基本パターン第３講では、「分数型」の漸化式を扱います。 まずは分数型の中でも簡単な形（特殊な形）である 分数漸化式（メタボ型） \(a_{n+1}=\displaystyle \frac{ra_{n}}{pa_{n}+q}\) を考えます。 分数の形がなんとなく△の形をしており、引き締まっておりません。 逆数を取ると \(\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}=\disp ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   このシリーズの一覧はこちら   漸化式の解法基本パターン第４講では 特性方程式使うと事故る型 \(a_{n+1}=pa_{n}+An+B\) というタイプをやっていきます。 長ったらしいネーミングですが、逆に一回事故った方が理解が深まると思います。 （もっといいネーミングがあれば募集します。）   文字のままやっててもピンとこないかもしれませんので、本問の (1) を例にとって、敢えて事故ってみます。 誤答 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） このシリーズの一覧はこちら   漸化式の解法基本パターン第５講では そうだ、log をとろう型 \(a_{n+1}^{p}=Aa_{n}^{q}\) というタイプを扱います。 両辺底が \(A\) の対数をとると \(p\log_{A}a_{n+1}=q\log_{A}a_{n}+1\) となり、\(b_{n}=\log_{A}a_{n}\) とおくと \(b_{n+1}=\displaystyle \frac{q}{p}b_{n} ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） このシリーズの一覧はこちら   第６講では「変数倍」型を扱います。 変数倍型 $$a_{n+1}=f(n)a_{n}+A$$ 基本的に\(a_{n+1}=pa_{n}+\cdots\) という「定数倍」であれば、多少のイレギュラーこそあれど、等比数列としての処理に帰着することになります。 今回のように「変数倍」になってくると、形一つで対応が変わってきます。 このあたりを体系的にまとめるのは難しいでしょう。 (1) ,  (2)  は ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） このシリーズの一覧はこちら   第７講では３項間漸化式を扱います。 ３項間漸化式 $$a_{n+2}+pa_{n+1}+qa_{n}=0$$ この３項間漸化式の狙い筋は 狙い筋 $$a_{n+2}-\alpha a_{n+1}=\beta(a_{n+1}-\alpha a_{n})$$ という形に変形することで、等比数列の形として処理することです。 つまり、 \(a_{n+2}-\alpha a_{n+1}=\beta(a_{n+1 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   このシリーズの一覧はこちら   第８講では「連立漸化式」を扱います。 連立漸化式の代表的な解法としては２つあります。 連立漸化式の代表的方針 １文字消去 上手い倍率を見つけて辺々操作 それぞれについて見てみます。 １文字消去路線について 今回の (1) を例にとってみます。 消しやすい第２式に注目すれば、\(a_{n}=b_{n+1}-b_{n}\) と見ることができます。 第１式に代入するために番号を 1 つ上げれば ...