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チェビシェフの多項式と呼ばれる有名テーマを扱った問題で、大学入試においても様々な角度から切り込まれています。
初見だと厳しい内容もありますので、代表的な問題を今回シリーズものとして扱うことにしました。
今回は第６弾です。
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チェビシェフの多項式 第１講【第１種チェビシェフ多項式】【2008年度 東京慈恵会医科大学】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） チェビシェフの多項式と呼ばれる有名テーマを扱った問題で、大学入試においても様々な角度から切り込まれています。 初見だと厳しい内容もありますので、代表的な問題を今回シリーズものとして扱うことにしました。 このシリーズのまとめはこちら まず、 \(\cos{n\theta}=T_{n}(\cos{\theta})\) を満たす多項式 \(T_{n}(x)\) のことを（第１種）チェビシェフの多項式といいます。 例をあげ ...
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チェビシェフの多項式 第２講【チェビシェフの多項式が満たす漸化式】【2015年度 千葉大学】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） チェビシェフの多項式と呼ばれる有名テーマを扱った問題で、大学入試においても様々な角度から切り込まれています。 初見だと厳しい内容もありますので、代表的な問題を今回シリーズものとして扱うことにしました。 今回は第２弾です。 このシリーズのまとめはこちら 今回はチェビシェフの多項式 \(T_{n}(x)\) が満たす漸化式について考えます。 チェビシェフの多項式 \(T_{n}(x)\) は チェビシェフの多項式が満たす漸化式 $$ ...
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チェビシェフの多項式 第３講【第２種チェビシェフの多項式】【1996年度 京都大学】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） チェビシェフの多項式と呼ばれる有名テーマを扱った問題で、大学入試においても様々な角度から切り込まれています。 初見だと厳しい内容もありますので、代表的な問題を今回シリーズものとして扱うことにしました。 今回は第３弾です。 このシリーズのまとめはこちら 前回までに \(\cos{n\theta}=T_{n}(\cos{\theta})\) を満たす多項式 \(T_{n}(x)\) について考えてきました。 じゃあ \(\sin{n ...
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チェビシェフの多項式 第４講【チェビシェフの多項式のグラフの特徴】【1997年度 京都大学】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） チェビシェフの多項式と呼ばれる有名テーマを扱った問題で、大学入試においても様々な角度から切り込まれています。 初見だと厳しい内容もありますので、代表的な問題を今回シリーズものとして扱うことにしました。 今回は第４弾です。 このシリーズのまとめはこちら 今回のテーマは \(y=T_{n}(x)\) のグラフの特徴です。 本問は前回までと違って \(\cos{n\theta}=T_{n}(\cos{\theta})\) といったよう ...
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チェビシェフの多項式 第５講【変形チェビシェフの多項式】【2004年度 名古屋大学】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） チェビシェフの多項式と呼ばれる有名テーマを扱った問題で、大学入試においても様々な角度から切り込まれています。 初見だと厳しい内容もありますので、代表的な問題を今回シリーズものとして扱うことにしました。 今回は第５弾です。 このシリーズのまとめはこちら これまでのチェビシェフの多項式 \(T_{n}(x)\) と似ていますが、\(\cos{n\theta}\) ではなく、\(2\cos{n\theta}\) や、\( ...
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チェビシェフの多項式 第６講【変形チェビシェフの多項式のグラフ】【2004年度 東京大学】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） チェビシェフの多項式と呼ばれる有名テーマを扱った問題で、大学入試においても様々な角度から切り込まれています。 初見だと厳しい内容もありますので、代表的な問題を今回シリーズものとして扱うことにしました。 今回は第６弾です。 このシリーズのまとめはこちら 背景的知識を抜きにしても本問を解くことはできますので、まずは正攻法で挑んでほしいと思います。 （以下ネタバレ注意） + クリ ...
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チェビシェフの多項式 第７講【ミニマックス原理との関連】【1977年度岐阜大学】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） チェビシェフの多項式と呼ばれる有名テーマを扱った問題で、大学入試においても様々な角度から切り込まれています。 初見だと厳しい内容もありますので、代表的な問題を今回シリーズものとして扱うことにしました。 今回は第７弾です。 【前回までの内容】 今回はミニマックス原理というものが背景にある問題を扱います。 一連の流れが非常に独特です。 誘導があるならともかく、誘導なしの場合、初見で対応するのはかなり難しいと思います。 ...
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背景的知識を抜きにしても本問を解くことはできますので、まずは正攻法で挑んでほしいと思います。
（以下ネタバレ注意）
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まずは (1) ですが、方程式の解の個数をグラフの交点の個数と捉える定番の問題です。
定数を単独にできる形であれば「定数分離」の形にすることで \(a\) を動かしつつ、グラフの交点の個数を考えることができます。
(2) はまともに考えると９次方程式ということになり、冗談じゃありません。
(1) からの流れで言えば , \(X=x^{3}-3x\) という置き換えにより、まずは\(X^{3}-3X=a\) を満たす \(X\) の個数を求めます。
欲しいのは \(x\) の個数ですから、 \(X=x^{3}-3x\) という関係式により \(x\) の個数を考えていきます。
(3) については今までの流れがヒントです。
(1) を利用して (2) を解決できたわけですから、同じ要領で次、同じ要領で次、\(\cdots\) と考えていけそうです。
つまり数学的帰納法が有力な方針でしょう。
ちなみに、もちろん「チェビシェフの多項式らしさ」を前面にだした別解もあります。
いつものように【総括】の中で解説します。
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