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放物線と接する円に関する座標の問題です。
放物線と円が接点を共有し、共通接線をもつときを考えるわけですが、目につく方針が色々あるため、目移りするかもしれません。
円 \(C_{t}\) の方程式を立式するために必要な中心の座標、半径 (の２乗)を (1) で考えることになります。
したがって、ここを落とすと (2) まで被害が及ぶため、計算ミスが命取りとなります。
(2) は正しく計算できれば、結局は４次方程式の実数解の個数の問題に帰着するのですが、そこに至るまでには東大らしい計算量があり、試験場で計算を合わせるのは簡単ではないでしょう。
ある程度の工夫を踏まえて計算する、もしくは割り切って最後までゴリゴリに計算を進めるのいずれかの選択・判断が必要です。
訊かれている内容や、そこで用いる手法自体は定番のものであり、東大受験生であれば方針面では迷いがないはずですが、処理面での差はある程度つくでしょう。