2023年度京大理系 各解説記事
2023年度 京都大学理系第１問【定積分の計算・高次式の余り】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 京大が定期的に取り入れる小問集合形式の問いです。 いずれも完答は現実的な範疇ですので、ここをキッチリと取って勢いにのっていきたいところです。 問１は基本的な定積分の計算問題で、部分積分一発で沈みます。 問２は年度に絡めた高次式 \(x^{2023}-1\) を \(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\) で割ったときの、余りについて考える問題です。 \(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\) という形を見て \(x^{5}-1 ...
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2023年度 京都大学理系第２問【空間における２直線が交点をもつ条件】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 空間ベクトルについての基本問題です。 内分点、中点の位置ベクトルの導出 共線条件 ２直線が交点をもつ条件 など、空間ベクトルに関する基本事項のセットとなっています。 なお、あまり律儀にお絵描きする必要はなく、立式の補助としてある程度の図で構わないでしょう。 問題によってはある程度正確に図を書き、図形的な考察を通さないと負担が重くなるような問題もありますが、本問はある程度ラフな図でも立式さえできれば、式的な処理で押し通せる範疇です。 そういった ...
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2023年度 京都大学理系第３問【サイコロの目の積についての確率】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） サイコロを投げて出た目の総積について考える問題で、話題としては典型テーマです。 悪くいってしまえば正直どの大学で出題されてもおかしくなく、個性はないと言ってよいでしょう。 下手をすると進学校であれば定期考査レベルの問題ですので、正直言って確保しないと大ダメージです。 （この問題で配点３０点ですからね。） 特に (1) は京大を本気で目指してきた受験生からするとバカにするなという感想が出てきてもおかしくないでしょう。 解答はコチラ なお、京大は ...
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2023年度 京都大学理系第４問【合成関数の最大最小】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 関数の最大値、最小値を求めるという極めてド直球なテーマです。 今回の \(f(x)\) は \(g(x)=x+\displaystyle \frac{1}{x}\) \(h(x)={e}^{-x^{2}}+\displaystyle \frac{1}{4}x^{2}+1\) と設定した際に \(f(x)=g(h(x))\) という形になっているいわゆる合成関数です。 \(y={e}^{-x^{2}}+\displaystyle \frac{1 ...
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2023年度 京都大学理系第５問【線分の通過領域と回転体】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 線分の通過領域による立体の体積を求める問題です。 点 \(\mathrm{P}\) は１次元的な動きですが、点 \(\mathrm{Q}\) は２次元的な動きをします。 同時に動かすと中々想像がつきませんが、ひとまず 点 \(\mathrm{P}\) を固定して \(\mathrm{Q}\) だけ動かす といったように、一つずつ動かすと分かりやすいでしょう。 独立２変数の扱いに通じる部分がありますね。 この態度で考えを進めると、結局は \(\ ...
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2023年度 京都大学理系第６問【チェビシェフの多項式】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） \(\mathrm{cos}\) の \(n\) 倍角の式を用いた論証問題です。 チェビシェフの多項式と呼ばれるネタがありますが、それにまつわる類題経験がないと厳しいでしょう。 チェビシェフの多項式に関するシリーズはコチラ 本問はチェビシェフの多項式がもつ特徴的な性質を自分で抽出して利用することが求められます。 性質そのものはもちろん、その性質の導出過程においても経験がモノを言いますので、知識的な側面が強い問題だと思います。 解答はコチラ
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と、形式に変更はありません。
分野的トピックス
昨年は数Ⅲからの出題は１題のみでしたが、今年は３大問で数Ⅲからの出題がありました。
また、京大頻出の整数分野については、第６問の中にその要素はあったものの前面に押し出した整数問題というわけではありませんでした。
各大問について
第１問
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）
京大が定期的に採用する各問が独立した小問形式の大問です。
2021年はこの独立小問形式の大問が２題あり、2022年はありませんでしたが、今年は復活しました。
問１（易）
\(\mathrm{log}\) が絡んだ定積分の計算で、部分積分で捌いていく定番の形です。
流石に計算ミスだけに気を付けてテキパキと片づけたい問題です。
問２（標準）
年度を絡めた高次式に関する余りの問題です。
除法の原理で
\(x^{2023}-1=(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1)Q(x)+ax^{3}+bx^{2}+cx+d\)
と立式しても、ここから \(1\) の \(5\) 乗根を代入していくことになり、気乗りしません。
割る式 \(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\) から
\(x^{5}-1=(x-1)(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1)\)
という因数分解をインスピレーションすると
\(x^{5} \equiv 1 \pmod{f(x)}\)
ということに辿り着きます。
なので ,
\(x^{2023}-1 \equiv x^{3}-1 \pmod {f(x)}\)
となり、即解決します。
それ以外にも
\(x^{2023}-1=(x-1)(x^{2022}+x^{2021}+x^{2020}+\cdots+x+1)\)
という因数分解から
\(x^{2022}+x^{2021}+x^{2020}+\cdots+x+1 = x^{2018}(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1)+x^{2013}(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1)+\cdots\)
というように見て、どんどん \(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\) で括っていくという方針もあります。
意外と取りこぼす受験生も一定数いると思います。
第２問（やや易）
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）
空間ベクトルに関する基本的な問題で、ベクトルの基本に忠実に捌いていけば困る要素はほぼありません。
ベクトルの扱いにそれなりに習熟していれば、問題のシチュエーションをベクトル語で翻訳していけば手なりに完答が狙えます。
試験場補正を考えても、これは確保したい大問です。
第３問（やや易）
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）
サイコロを投げて、出た目の積が○○の倍数となっている確率を考える、定番の話題です。
番号付きのカードや玉の復元抽出も含めると、類題は山のようにある問題であり、京大受験生であれば類題経験は必ずと言っていいほどあると思います。
少し昔になりますが、京大自身も1992年に出題しており
過去問類題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）
というほぼ同趣旨の問題を出題しています。
本問も落とすわけにはいかない一問です。
第４問（標準）
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）
本問の \(f(x)\) は
- \(g(x)=x+\displaystyle \frac{1}{x}\)
- \(h(x)={e}^{-x^{2}}+\displaystyle \frac{1}{4}x^{2}+1\)
と設定した際に、
\(f(x)=g(h(x))\)
という形になっているいわゆる合成関数です。
相加平均・相乗平均の関係から最小値は２
という誤答を狙い撃ちする目的だったのでしょうか。
最大値も訊かれているので流石に安易にそのような誤答に嵌まる人はほぼいないでしょうけどね。
\(t={e}^{-x^{2}}+\displaystyle \frac{1}{4}x^{2}+1\)
とおき、\(t\) のとり得る値の範囲を求めて、その範囲の中で \(y=t+\displaystyle \frac{1}{t}\) の最大値と最小値を求めることになります。
数値は多少込み入ったものがあるものの、やること自体は一本道であり、できれば確保したい大問です。
第５問（やや難）
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）
線分の通過領域による立体の体積を求める問題です。
今回考える立体が
を看破する必要があります。
このように、
という類の問題は、東大に過去問が多く、どことなく解いていて東大臭 (？) を感じました。
処理についても線分の通過領域を捌くなど、差がつく要素が盛り込まれており、完答するには相応の確かな力が必要です。
第６問（やや難）
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）
\(\cos{n\theta}\) を \(\cos{\theta}\) の多項式として表す、いわゆるチェビシェフの多項式と呼ばれるネタものです。
(1) はわざわざ問いにしている以上、３倍角の公式は前面に押し出さず加法定理を用いた導出過程を丁寧に記述した方がよいでしょう。
ただ、この (1) はヒントとして機能しているとは個人的には思えません。
チェビシェフの多項式に関する類題経験がそれなりにあって、内容がある程度常識化していないと本問を完答するのは厳しいでしょう。
どちらかというと知識的側面が強い問題と言ってよく、賛否両論ありそうな問題だと思います。
全体的に
昨年にも増して、定番寄りの出題が多くなりました。
逆に言えば個性的と感じられる問題がないと言えます。
きちんと学習を積み上げてきた受験生からすれば解きやすい問題も多く感じられたと思います。
昨年に比べ、やや易化といったところでしょうか。
京大の易化傾向が続いていますが、あまりそこにとらわれすぎても考えものです。
結局は難化しようが易化しようが、モノを言うのは確かな基礎力です。
また、問題そのものの難易度だけでなく、用語を正しく使ったり、不備なくきちんと論じきったりといった記述力も必要だと思います。
実際ここ数年の京大の出題路線を見ていると、基本的な問題をきちんと論じて結論を導出できるかという記述部分も試しているような気がしてなりません。
難しい問題に偏りすぎるとそれが見えなくなりますからね。
記述力は一朝一夕には身につきませんし、今日やろうと思って明日できるようになるものではありません。
来年度以降の受験生の皆さんは他人に読んでいただくという意識で答案を作る練習も怠ることなく積み上げていってください。
2023年度京大理系 各解説記事
2023年度 京都大学理系第１問【定積分の計算・高次式の余り】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 京大が定期的に取り入れる小問集合形式の問いです。 いずれも完答は現実的な範疇ですので、ここをキッチリと取って勢いにのっていきたいところです。 問１は基本的な定積分の計算問題で、部分積分一発で沈みます。 問２は年度に絡めた高次式 \(x^{2023}-1\) を \(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\) で割ったときの、余りについて考える問題です。 \(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\) という形を見て \(x^{5}-1 ...
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問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 空間ベクトルについての基本問題です。 内分点、中点の位置ベクトルの導出 共線条件 ２直線が交点をもつ条件 など、空間ベクトルに関する基本事項のセットとなっています。 なお、あまり律儀にお絵描きする必要はなく、立式の補助としてある程度の図で構わないでしょう。 問題によってはある程度正確に図を書き、図形的な考察を通さないと負担が重くなるような問題もありますが、本問はある程度ラフな図でも立式さえできれば、式的な処理で押し通せる範疇です。 そういった ...
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2023年度 京都大学理系第４問【合成関数の最大最小】
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2023年度 京都大学理系第５問【線分の通過領域と回転体】
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2023年度 京都大学理系第６問【チェビシェフの多項式】
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