2023年度東大理系 各解説記事
2023年度 東京大学理系第１問【定積分の不等式評価と区分求積法】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 定積分の不等式評価と、区分求積法からのはさみうちの原理による極限の導出を考える問題です。 オープニングとしては中々けたたましいファンファーレに感じた受験生も多いでしょう。 \(B_{n}\) を具体的に計算できないこと、及び (1) の不等式評価を誘導と見れば (1) の不等式評価を用いてはさみうちの原理で仕留める というオチを睨むことは難しくありません。 ただ、肝心かなめの (1) の評価が簡単ではなく、第１問という位置取り的にも平常心を乱 ...
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2023年度 東京大学理系第２問【隣り合わない並びと条件付き確率】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 隣り合わない並びという話題で、オチは条件付き確率というテーマ自体はよくある話題です。 隣り合わない並びを実現させるための手段としては 隙間に放り込む というのが有力な方法です。 (1) は先に白と黒を並べて、赤を隙間に放り込めばよいわけです。 確率ですから、玉は区別して考えればよいでしょう。 白と黒の並べ方が \(8!\) 通りあり、赤玉は隙間の９カ所から４カ所選んで並べればよいため、 \(8! \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 ...
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2023年度 東京大学理系第３問【円の接線と放物線の弦】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 放物線と円の位置関係から始まり、円の接線が放物線によって切り取られる長さについて考える問題です。 (1) は距離に注目したり、円周上の点をパラメータ表示したり色々捌けるでしょうが、(2) のことを考えるとパラメータ表示をする方が方針面での接続はよさそうです。 (2) はひとまず \(L_{\mathrm{P}}\) を立式するところまでが一つの山場です。 点 \(\mathrm{P}\) における接線の式を立てる \(y=x^{2}\) と連 ...
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2023年度 東京大学理系第４問【球と三角形が共有点をもつ条件】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 空間座標に関する問題で、ベクトル特有の機械的処理要素もありつつ、図形的な考察力も要する良問です。 (1) , (2) までは東大受験生であれば確保したいレベルで、(3) は差がつくでしょう。 一気に処理しようとせず、一つずつ丁寧に状況を整理していくと、全体像がつかめてきます。 全体像がつかめればこちらのもので、やるべきことや目の付け所が浮かんできやすくなります。 図形的な考察要素を好む東大らしい一問でしょう。 今年のセットの中では他の問題に ...
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2023年度 東京大学理系第５問【整式が平方因子をもつ条件】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 整式の割り算と余りに関する論証問題です。 (1) は東大受験生であれば確保したい内容ですが、どちらかというと当たり前的な内容の証明なのでどこまで丁寧さを求めるか迷うところですが、出来る限り丁寧に記述しておきましょう。 (2) は除法の原理 \((割られる式)=(割る式)\cdot (商)+(余り)\) を用いて、与えられた条件を立式していきます。 \({h(x)}^{7}=f(x)Q_{1}(x)+h_{1}(x)\) \({h_{1}(x) ...
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2023年度 東京大学理系第６問【条件を満たす線分と折れ線の先端の存在領域の体積】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 見るからに威圧感のある空間図形の問題です。 問題を噛み砕くのに時間がかかり、突破口を見出すのに時間がかかり、それを計算処理するのに時間がかかり、適切な文章や図でまとめるのに時間がかかり、というようにとにかく時間がかかります。 面白い問題だとは思いますが、試験場では相手にしてはいけない問題です。 結局は (1) では棒、(2) ではヌンチャク(折れ線) が立方体の表面と共有点をもたないように動くときの先端の存在領域を考えることになります。 また ...
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と、形式に変更はありません。
分野的トピックス
東大が好む整数分野からの出題がありませんでした。
また、全体的に第３問、第４問、第６問など図形に関する出題が目立ちました。
各大問について
第１問（標準）
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）
定積分の不等式評価をし、それを用いてはさみうちの原理で極限を求める問題です。
流れ自体は定番の流れなので、ざっくりとしたシナリオ自体は読み取れますし、(1) の結果を認めてしまえば (2) だけでも確保はできます。
ただ、(1) の不等式評価についてはそもそもこのトピックス自体苦手な人も多いですし、決して簡単ではありません。
東大入試としては標準という位置づけになる難易度だとは思います。
第２問（標準）
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）
３色の色の玉を一列に並べる際に、隣り合わない並びが実現することを考える問題で、文系第３問との共通問題です。
(1) はさすがに確保したい問題で、ここを落としてしまうと目も当てられません。
隣り合わない並びを実現させるためには
隙間に放り込む
という考え方をするのが一般的です。
(2) は赤も黒も隣り合わない並びを実現させることを考えるわけですが、勢い余って
白を並べる
→黒を隙間に入れる
→赤を隙間に入れる
と処理してしまうと誤ってしまうという落とし穴があります。
ただ、「あれ、これだとマズくないか？」と、気がついた人は同時に場合分けの必要性にも気づけることになります。
本問はそれなりに時間さえかければ確保が現実的な問題であるだけに今年のセットでは優先順位が高めでしょう。
第３問（やや難）
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）
円に接し、放物線の弦となるような線分の長さについて考察する問題です。
(1) は放物線と円の位置関係を考える問いですが、煮るなり焼くなりできる話題です。
ただ、それと同時に放物線と円の位置関係は解法によっては注意して論証しないと傷ができやすい話題なので、注意深く記述する必要があります。
(2) で円の接線を扱うことを考えると、円上の点を \(\theta\) などを用いて表していくのがよいでしょう。
(2) ではひとまず \(L_{\mathrm{P}}\) を立式していくわけですが、ここの計算を合わせないと次の山場に行き着けません。
一旦 \(L_{\mathrm{P}}\) は \(\theta\) を用いた三角関数で表される式となりますが、適切な置き換えによって結局は
４次関数が極値をもつ条件について考える
ということに帰着します。
この辺りを試験場で冷静に最後まで捌ききるためには相応の力が必要です。
第４問（標準）
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）
空間ベクトルに関する総合的な問題です。
(1) , (2) までは機械的に捌けるため、試験場補正を考慮したとしても確保したいレベルです。
(3) は機械的な処理でもいけないことはありませんし、答えの数字だけであれば出すことは可能です。
ただ、位置関係をきちんと整理し、全体像をつかむと、図形的考察から比較的容易に結論に辿り着けます。
とは言え \(x\) 軸、\(y\) 軸、\(z\) 軸を書いて律儀に図を書こうとしてしまい、クシャクシャになり時間を失うだけでなく混乱もしかねないことも考えると
見るべきところを見る
という力が必要となり、難易度以上に差がつくことが予想されます。
第５問（標準）
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）
多項式の余りに関する論証問題です。
基本的には
\((割られる式)=(割る式)\cdot (商)+(余り)\)
という「除法の原理」を用いて、与えられた条件を立式していきます。
(1) はどちらかというと「当たり前的な主張」に関する証明問題ですから、出来る限り丁寧に記述していきたいところです。
整数の余りと同様に二項展開をした際にざっくりと
\(f(x)\) で括れる部分と括り切れない部分に分ける
という見方をします。
(2) も除法の原理を用いて与えられた条件を立式していくと、結局は
\({h(x)}^{49}-h(x)\) が \(f(x)\) で割り切れる
という翻訳をすることになります。
\(H(x)={h(x)}^{49}-h(x)\) とおいたとき、\(H(x)\) が
\((x-1)^{2}\) と \(x-2\) を因数にもつ
というように \(a\) , \(b\) を仕組みたいわけです。
\(H(1)=0\) , \(H(2)=0\) という式は多くの受験生が立てられるでしょう。
なまじ \(a\) , \(b\) という未知数２個に対して、この条件２個から \(a\) , \(b\) が求まってしまいます。
ただ、これだけでは、\(H(x)\) が
\(x-1\) , \(x-2\) を因子にもつ
という部分までしか言えません。
結局は \((x-1)^{2}\) という平方因子をもつということを翻訳できるかがカギとなります。
第６問（難）
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）
空間図形に関する本格的な難問です。
純粋に問題としてだけ見たら面白い問題だと思いますし、よくこんな問題作れるなと感心します。
ただ、150分の試験の中では相手にしてはいけません。
６面ある立方体のうち
１面だけ特殊で、他５面は立場的に平等
という状態ですから、ざっくりとした流れ的には
ひとまずモデルケースを考えてみて、その他は対称性から同様
というように話を進めていくんだろうなということは身構えておきましょう。
本問は至る所で対称性の恩恵にあやからないと解ききるのは極めて難しく、純粋に式で押し切ろうとなるとほぼ心が折れることになるでしょう。
本問を完答しようと思うと図形的な考察に向き合うことになります。
文句なしの難問と言ってよいでしょう。
全体的に
とにかく今年のセットの特徴は
完答がしにくいタイプの問題が並んだ
という点です。
「これは確保したい問題だよね」と受験生に要求しづらい問題のセットで、何かしら完答を阻む要素を含んでいたように思います。
難易度変化としては昨年に比べて変化なしで、高止まりしていると言ってもよいでしょう。
また、第６問は言葉を選ばずに言ってしまえば捨て問と言ってもよく、ほとんど差がつかないでしょう。
そういった意味で、実質は５問勝負です。
これは確保したいという部分は
- 第１問 (2)
- 第２問 (1)
- 第３問 (1)
- 第４問 (1) (2)
- 第５問 (1)
で、上記の問題を一つ落とすごとに大幅に HP が削られます。
あとは残りをどれだけかき集めるかという勝負となるでしょう。
完答しやすいのは個人的には順に
- 第５問（微分するというのは東大受験生であれば経験値がそれなりにあるはず）
- 第２問（あ、ダメだダメだとなってからのリカバリーがしやすい）
- 第４問（スジが悪くても結論は出せる）
あたりでしょうか。
第１問は方針が出てこないと、とことん出てこないトピックスですし、第３問は設定の仕方によっては計算量が変わってきます。
このあたりは個人差があると思いますので、あくまで参考程度にしてください。
2023年度東大理系 各解説記事
2023年度 東京大学理系第１問【定積分の不等式評価と区分求積法】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 定積分の不等式評価と、区分求積法からのはさみうちの原理による極限の導出を考える問題です。 オープニングとしては中々けたたましいファンファーレに感じた受験生も多いでしょう。 \(B_{n}\) を具体的に計算できないこと、及び (1) の不等式評価を誘導と見れば (1) の不等式評価を用いてはさみうちの原理で仕留める というオチを睨むことは難しくありません。 ただ、肝心かなめの (1) の評価が簡単ではなく、第１問という位置取り的にも平常心を乱 ...
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2023年度 東京大学理系第２問【隣り合わない並びと条件付き確率】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 隣り合わない並びという話題で、オチは条件付き確率というテーマ自体はよくある話題です。 隣り合わない並びを実現させるための手段としては 隙間に放り込む というのが有力な方法です。 (1) は先に白と黒を並べて、赤を隙間に放り込めばよいわけです。 確率ですから、玉は区別して考えればよいでしょう。 白と黒の並べ方が \(8!\) 通りあり、赤玉は隙間の９カ所から４カ所選んで並べればよいため、 \(8! \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 ...
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2023年度 東京大学理系第３問【円の接線と放物線の弦】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 放物線と円の位置関係から始まり、円の接線が放物線によって切り取られる長さについて考える問題です。 (1) は距離に注目したり、円周上の点をパラメータ表示したり色々捌けるでしょうが、(2) のことを考えるとパラメータ表示をする方が方針面での接続はよさそうです。 (2) はひとまず \(L_{\mathrm{P}}\) を立式するところまでが一つの山場です。 点 \(\mathrm{P}\) における接線の式を立てる \(y=x^{2}\) と連 ...
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2023年度 東京大学理系第４問【球と三角形が共有点をもつ条件】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 空間座標に関する問題で、ベクトル特有の機械的処理要素もありつつ、図形的な考察力も要する良問です。 (1) , (2) までは東大受験生であれば確保したいレベルで、(3) は差がつくでしょう。 一気に処理しようとせず、一つずつ丁寧に状況を整理していくと、全体像がつかめてきます。 全体像がつかめればこちらのもので、やるべきことや目の付け所が浮かんできやすくなります。 図形的な考察要素を好む東大らしい一問でしょう。 今年のセットの中では他の問題に ...
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2023年度 東京大学理系第５問【整式が平方因子をもつ条件】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 整式の割り算と余りに関する論証問題です。 (1) は東大受験生であれば確保したい内容ですが、どちらかというと当たり前的な内容の証明なのでどこまで丁寧さを求めるか迷うところですが、出来る限り丁寧に記述しておきましょう。 (2) は除法の原理 \((割られる式)=(割る式)\cdot (商)+(余り)\) を用いて、与えられた条件を立式していきます。 \({h(x)}^{7}=f(x)Q_{1}(x)+h_{1}(x)\) \({h_{1}(x) ...
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2023年度 東京大学理系第６問【条件を満たす線分と折れ線の先端の存在領域の体積】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 見るからに威圧感のある空間図形の問題です。 問題を噛み砕くのに時間がかかり、突破口を見出すのに時間がかかり、それを計算処理するのに時間がかかり、適切な文章や図でまとめるのに時間がかかり、というようにとにかく時間がかかります。 面白い問題だとは思いますが、試験場では相手にしてはいけない問題です。 結局は (1) では棒、(2) ではヌンチャク(折れ線) が立方体の表面と共有点をもたないように動くときの先端の存在領域を考えることになります。 また ...
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