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\(2^{\sqrt{k}}\) の整数部分が \(n\) 桁となるものの中で、最高位の数字が \(1\) となるものの割合について、その極限を考える問題です。
\(2^{\sqrt{k}}\) が \(n\) 桁ということは
\(10^{n-1} \leq 2^{\sqrt{k}} \lt 10^{n}\)
ということになり、整理すると
\((\displaystyle \frac{n-1}{\log_{10}{2}})^{2} \leq k \lt (\displaystyle \frac{n}{\log_{10}{2}})^{2}\)
で、これを満たす整数 \(k\) の個数が \(N_{n}\) ということになります。
同様に\(2^{\sqrt{k}}\) が \(n\) 桁かつ最高位の数字が \(1\) ということは
\(10^{n-1} \leq 2^{\sqrt{k}} \lt 2 \cdot 10^{n-1}\)
ということで、整理すると
\((\displaystyle \frac{n-1}{\log_{10}{2}})^{2} \leq k \lt (\displaystyle \frac{n-1}{\log_{10}{2}}+1)^{2}\)
で、これを満たす整数 \(k\) の個数が \(L_{n}\) ということになります。
これらの不等式を満たす整数 \(k\) の個数を数えるにあたっては、ガウス記号を導入する必要が出てきます。
一般にガウス記号に関しては
\(x-1 \lt [x] \leq x\)
という不等式が成り立ちます。
したがって、ガウス記号に関する極限について考える際は、この不等式を利用し、「はさみうちの原理」で仕留めるという作戦が定番です。