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\(n\) 色を準備し、立方体の各面を隣り合う面が異色となるように塗り分ける確率について考察する問題です。
立方体の塗り分けについての場合の数の問題だと、回転による一致や、裏返しによる一致を考慮する必要が出てきたりして、苦い思いをした経験がある人が多いと思います。
それに引きずられると、下手なことを考え出してクシャクシャになりかねません。
本問は確率の問題であり、各面に区別をつけ、全事象を \(n^{6}\) 通りとして考えることで、上述の回転による一致や裏返しによる一致などを考えることが不要になります。
(2) の \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}p_{n}\) についてですが、\(n\) が十分大きいとき、例えば \(n=1\) 億のときなどを想像してみると、\(1\) 億色準備したら、６面はほぼバラバラであり、同じ色が使われることなどほぼほぼあり得ないと想像がつくでしょう。
すなわち \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}p_{n}=1\) であるという予想が立つと思います。
そして、それはほぼほぼ
\(6\) 色が使われる確率
に等しいことが分かります。
厳密には等号ではなく、不等号ということになりますから、最終的にはさみうちの原理で仕留めることになるでしょう。
はさみうちの原理に頼らずに処理することもできるにはできますが、時間的ロスが発生してしまう可能性が高く、試験場では方針面での判断がこの問題の出来不出来以外の部分に影響を与えた可能性もあります。