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曲線外の点から接線が何本引けますかという定番のテーマであり、類題経験は阪大受験生であればあって然るべきでしょう。
なので、方針面で困ることがあってはなりません。
ただ、処理面で手が止まってしまう受験生は少なくないでしょう。
\((t \ , \ \cos{t})\) における接線の式を立て , それが \((a \ , \ b)\) を通るように仕組むことになります。
すると、
\(b=(t-a)\sin{t}+\cos{t}\)
という等式を得ます。
これを満たす \(t\) が \(-\pi \leq t \leq \pi\) の範囲に 4 個あってほしいわけです。
ここから筋が悪いと手が止まるか、あらぬ方向に進んでしまうかということになります。
大抵は \(f(t)=(t-a)\sin{t}+\cos{t}\) と設定し、
- \(y=f(t)\) と \(y=b\) のグラフの交点が４個あればよい。
とするでしょう。
恐らくですが
\(f'(t)=(t-a) \cos{t}\)
を得たあたりで雲行きが怪しくなった受験生が多くいたことと思います。
ここから結論まで辿り着くためにはそれなりの腕力が必要になります。
阪大らしいスタミナが必要な問題です。