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関数の最大値、最小値を求めるという極めてド直球なテーマです。
今回の f(x) は
- g(x)=x+\displaystyle \frac{1}{x}
- h(x)={e}^{-x^{2}}+\displaystyle \frac{1}{4}x^{2}+1
と設定した際に
f(x)=g(h(x))
という形になっているいわゆる合成関数です。
y={e}^{-x^{2}}+\displaystyle \frac{1}{4}x^{2}+1+\displaystyle \frac{1}{{e}^{-x^{2}}+\displaystyle \frac{1}{4}x^{2}+1} の最大最小を考えるにあたって、
t={e}^{-x^{2}}+\displaystyle \frac{1}{4}x^{2}+1
とおき、
y=t+\displaystyle \frac{1}{t}
とシンプルにしたくなる気持ちは湧いてきて当然の気持ちです。
もちろん、この t は好き勝手動けるわけではないので、
t のとり得る値の範囲
を求めて、その範囲内で y=t+\displaystyle \frac{1}{t} の最大値と最小値を求めることになります。
やること自体は一本道であるため、方針面で困ることはあってはなりません。
ただ、処理の場面でアタフタする受験生が若干いるとは思います。
切れ味を求める京大というイメージですが、本問はどちらかというと腕力寄りの問題です。
ただ、メチャクチャな腕力が必要というわけでもないので、腕力がある受験生を炙り出すというよりは、非力な受験生を炙り出す目的での出題だと推察します。