問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）
京大が定期的に取り入れる小問集合形式の問いです。
いずれも完答は現実的な範疇ですので、ここをキッチリと取って勢いにのっていきたいところです。
問１は基本的な定積分の計算問題で、部分積分一発で沈みます。
問２は年度に絡めた高次式 x^{2023}-1 を x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1 で割ったときの、余りについて考える問題です。
x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1 という形を見て
x^{5}-1=(x-1)(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1)
という因数分解公式に現れる部分をインスピレーションできると
x^{5} \equiv 1 \pmod{f(x)}
ということに辿り着きます。
なので ,
x^{2023}-1 \equiv x^{3}-1 \pmod {f(x)}
となり、即解決します。
また、
x^{2023}-1=(x-1)(x^{2022}+x^{2021}+x^{2020}+\cdots+x+1)
なのですが、
x^{2022}+x^{2021}+x^{2020}+\cdots+x+1 = x^{2018}(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1)+x^{2013}(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1)+\cdots
というように見て、どんどん x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1 で括っていくという方針もあります。