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2022年度 大阪大学 理系第5問【パラメータ曲線の面積】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

パラメータ表示された曲線による面積を考える問題です。

話題としては定番の話題であり、方針面で何をしてよいのかが分からないということがあってはなりません。

今回のパラメータ曲線を図示すると

 

という概形になります。

見づらくて申し訳ないですが、微妙に膨らんでおり、\(x\) 軸に沿って積分していく場合、くり抜きの作業が発生します。

本問の山場は

  • パラメータ表示された曲線の図示
  • くり抜き作業を伴う積分計算の工夫

ということになります。

どちらについても、発想自体はどこかの問題集や参考書などで経験しているものだと思います。

特に今回は、積分区間がお世辞にもキレイとは言えない数値になっていますので、現実的に解ききるためには、積分計算上の工夫が必要でしょう。

ウンチク

今回の曲線は「等角螺旋」と呼ばれる有名曲線です。

この曲線の特徴的な性質については

参考有名曲線【等角螺旋と特徴的な性質】【2000年度 神戸大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 有名曲線の一つである「等角螺旋」と呼ばれる曲線について扱った問題です。 対数螺旋、ベルヌーイの螺旋など様々な呼ばれ方がありますが、性質的 ...

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