解答速報

2022年度 北海道大学 理系第2問【平面ベクトルと漸化式】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

与えられたベクトルに関する漸化式により、点列 \(\{\mathrm{P}_{n}\}\) ,  \(\{\mathrm{Q}_{n}\}\) が定まっていきます。

この \(\mathrm{P}_{n}\) の座標を \((x_{n} \ , \ y_{n})\) としたときの \(x_{n}\) や \(y_{n}\) が求められています。

  • 図形的にアプローチする
  • 式をゴリゴリ処理していく

という2路線が考えられますが、図形的なイメージで言えば

というように、

  • 線分 \({\mathrm{P}}_{n}{\mathrm{Q}}_{n}\) を \(1-a : a\) に内分する点が \({\mathrm{P}}_{n+1}\)
  • \({\mathrm{Q}}_{n}\) から真上になんぼか進んだ点が \({\mathrm{Q}}_{n+1}\)

のようなイメージです。

このように、与えられた漸化式に図形的な意味付けはできなくはないものの、このイメージが劇的に効いてくる様子もなさそうです。

「まぁ式に教えてもらおう」

というように、与えられているベクトルに関する漸化式を成分ごとに見て、

\(x_{n}\) や \(y_{n}\) についての漸化式

を立式して捌いていく路線になるでしょう。

ひとたび割り切って処理していくと決めたら、後はゴリゴリ進めていくだけです。

座標と成分をリンクさせるためには、もちろん始点を原点 \(\mathrm{O}\) として考えていくことになります。

漸化式が立式できれば、その漸化式を捌けるかという話になってきます。

漸化式の処理に関しては、「勉強してきましたか?」という類の問題なので、処理できなければ勉強不足と言われても仕方がないです。

これについては

テーマ別演習:漸化式の解法基本パターン

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と、シリーズもので準備してありますので、来年以降の受験生で足元がフワフワしているという方はご活用ください。

本問は、やること自体は明確に見えなければならない漸化式ですが、処理量は多く、試験場で計算を合わすのは大変かなと思います。

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