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2022年度 北海道大学 理系第1問【絶対値付きの2次関数の最小値】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

絶対値付きの2次関数の最小値を考える問題ですが、2変数 \(a\) ,  \(b\) を含んでおり、整理力が必要です。

個人的には東大文系の匂いを感じました。(主観)

まずは丁寧に場合分けをして絶対値を外す作業をします。

(1) は \(x \lt 0\) ,  \(x \gt 1\) という範囲が決まっており、条件 \(0 \leq a \leq b \leq 1\) ということを加味すると、この範囲では各絶対値はそのまま外れることになります。

つまり

\(f(x)=x(x-1)+(x-a)(x-b)\)

となります。

ここから展開して平方完成してもよいですが、面倒であれば「微分でやっちまえ」というのも有力な手段です。

相手が2次関数であっても、面倒なら微分でぶん殴るということはよくやる技です。

いずれにせよ、この \(y=f(x)\) の軸は \(0 \leq x \leq 1\) の範囲にあることが確認できますから、\(x \lt 0\) ,  \(x \gt 1\) という範囲ではそれぞれ単調減少、単調増加ということになります。

グラフの概形的に最小値をとるとしたら、\(0 \leq x \leq 1\) の範囲ということになりますから、 \(x \lt 0\) ,  \(x \gt 1\) という範囲では

\(f(x) \gt m\)

ということが言えることになります。

【解答】では数式的に示しています。

(2) は \(0 \leq x \leq 1\) の範囲で場合分けをして絶対値を外すことになります。

\(0 \leq x \leq 1\) の範囲では、

直線、放物線、直線

という継ぎはぎ関数ということが確認できれば、概形を掴む方が早い気がします。

(3) は (2) の導出過程から

$$m=\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
ab (a+b \leq 1 のとき)\\
(1-a)(1-b) (a+b \geq 1 のとき)
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$$

ということが言えます。

つまり、\(a\) ,  \(b\) が独立に動くときの独立2変数関数の最大値問題ということになります。

これまた、調理の仕方は様々ありますが、手際よく捌こうと思うなら

  • 和の条件があり、積の形の \(m\) の最大値を求めたい

という状況から

相加平均・相乗平均の関係

で仕留めるのが有力でしょうか。

この他にも予選決勝法や逆像法などの解法も考えられます。

独立2変数関数の最大をきっちりと勉強していれば目移りするぐらいです。

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