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公式
曲線の長さ（道のり）の公式
\(L=\displaystyle \int_{\alpha}^{ \beta } \sqrt{1+(\displaystyle \frac{dy}{dx})^{2}} dx\)
に沿って計算していくだけであり、方針面では困ることはないはずでしょう。
手なりに計算していけば結局は
\(\displaystyle \int_{ \ }^{ \ } \displaystyle \frac{1}{\cos{\theta}} d\theta\)
というタイプの積分計算の処理に帰着します。
これについては初見だとキツイですが、経験があれば、
\(\displaystyle \int_{ \ }^{ \ } \displaystyle \frac{\cos{\theta}}{\cos^{2}{\theta}} d\theta\)
と見て、部分分数分解に持ち込む定番の問題です。
京大では 2019 年度の第１問（小問集合）で
\(\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \displaystyle \frac{1}{\cos{x}} dx\)
を求めさせる出題をしており、過去問をやっていれば確実に出会っていることになります。
本問は落とせない（落としたくない）問題かと思われます。