解答速報

2021年度 京都大学理系第6問【素数についての証明問題】【抽象的な関数の論証】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

 

第6問も独立した2つの問いの形式ということに軽く驚きましたが、そこは「そういうこともあるのか」程度のものでしょう。

問1はメルセンヌ素数( \(2^{n}-1\) という形の素数 )についての有名事実

\(n\) を正の整数として、\(2^{n}-1\) が素数であるならば ,  \(n\) も素数である。

というものの延長的な話題だと思われます。

シナリオについても決め手が

\(x^{n}-y^{n}=(x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+\cdots+xy^{n-2}+y^{n-1})\)

という因数分解であるということもほぼ同じです。

自分自身は上述のメルセンヌ素数についての経験があるため、新鮮な目で見られませんでしたが、受験生目線で言えば、差が付くレベルの標準かなと思いました。

 

問2については京大が定期的に出題する抽象的な関数に関しての論証問題です。

\(f(a)=af(1)\) という条件をどう見ることができるかですが、これについて最短距離で

\(\displaystyle \frac{f(a)}{a}=\displaystyle \frac{f(1)}{1}\)

と見られるかどうかで言えば、簡単ではないでしょう。

辿り着くとしてもそれなりに試行錯誤の結果ということも多いかなと思います。

示すべきことを逆算的に考えると、何が決め手となるのかが見えてくるとは思いますが、抽象的な関数に対して慣れていない受験生は少なくないと思われ、確保できればアドバンテージを握れる難易度でしょう。

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