解答速報

2021年度 京都大学理系第4問【曲線の長さと積分計算】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

 

公式

曲線の長さ(道のり)の公式

\(L=\displaystyle \int_{\alpha}^{ \beta } \sqrt{1+(\displaystyle \frac{dy}{dx})^{2}} dx\)

に沿って計算していくだけであり、方針面では困ることはないはずでしょう。

手なりに計算していけば結局は

\(\displaystyle \int_{ \ }^{ \ } \displaystyle \frac{1}{\cos{\theta}} d\theta\)

というタイプの積分計算の処理に帰着します。

これについては初見だとキツイですが、経験があれば、

\(\displaystyle \int_{ \ }^{ \ } \displaystyle \frac{\cos{\theta}}{\cos^{2}{\theta}} d\theta\)

と見て、部分分数分解に持ち込む定番の問題です。

京大では 2019 年度の第1問(小問集合)で

\(\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \displaystyle \frac{1}{\cos{x}} dx\)

を求めさせる出題をしており、過去問をやっていれば確実に出会っていることになります。

本問は落とせない(落としたくない)問題かと思われます。

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