18°絡みの三角比 テーマ別演習

18°絡みの三角比 第1講【黄金三角形の黄金分割】【2009年度 大阪教育大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

18°絡みの三角比という話題で、様々な切り口からこのテーマが扱われます。

代表的な登場シーンを一通り経験することで、ストーリーを体感し、対応できるようにしましょう。

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18°絡みの三角比 第1講【黄金三角形の黄金分割】【2009年度 大阪教育大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 18°絡みの三角比という話題で、様々な切り口からこのテーマが扱われます。 代表的な登場シーンを一通り経験することで、ストーリーを体感し、対応できるようにしましょう。 このシリーズの一覧はこちら 第1講は 黄金三角形の黄金分割 という話題です。 黄金比について 長方形 A から正方形を切り取って 残った長方形を B とします。 A と B が相似であるとき、長方形 A を黄金長方形といい、その縦横比を \(1 : x\) とすると、 \(1 : ...

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18°絡みの三角比 第2講【正五角形の利用】【1997年度 岐阜大学】

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18°絡みの三角比 第3講【チェビシェフの多項式の利用】【2012年度 早稲田大学ほか】

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18°絡みの三角比 第4講【1の5乗根の利用】【1997年度 金沢大学ほか】

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第1講は

黄金三角形の黄金分割

という話題です。

黄金比について

長方形 A から正方形を切り取って 残った長方形を B とします。

A と B が相似であるとき、長方形 A を黄金長方形といい、その縦横比を \(1 : x\) とすると、

\(1 : x=x-1 : 1\)

これを整理した \(x^2-x-1=0\) の正の解として \(x=\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}\) が得られますが、この値を

\(\phi=\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}\)

と、\(\phi\) という文字で表し、これを黄金数(あるいは分数自体が比を表すことから黄金比)と呼びます。

古来より人類が最も美しく感じる比率として、ミロのヴィーナスやパルテノン神殿など、様々な文化財に取り入れられています。

 

黄金三角形について

今回取り上げられている三角形は

 

という辺の比が \(\phi : 1\) となっている二等辺三角形です。

この \(\phi\)  は元々\(1 : x=x-1 : 1\) を満たす \(x\) として得られた値ですから、当然

\(1 : \phi=\phi-1 : 1\)

を満たしています。

したがって

 

という分割によって \(\triangle ABC ∽ \triangle BCD\)という相似構造が現れます。

と角度 \(\theta\) を設定すると、\(5\theta=180^{\circ}\) より、\(\theta=36^{\circ}\) を得ることになります。

 

本問について

本問で与えられている二等辺三角形は黄金三角形です。

一応誤解がないように言っておきますが、\(36^{\circ}\) ,  \(72^{\circ}\) ,  \(72^{\circ}\)  の二等辺三角形だから黄金三角形というよりも

黄金三角形は

結果的に\(36^{\circ}\) ,  \(72^{\circ}\) ,  \(72^{\circ}\)  の二等辺三角形となっている

というニュアンスです。

本問の話題としては (2) の \(\cos{72^{\circ}}\) の導出ですが、この黄金三角形を真っ二つにすることで

と見て、\(\cos{72^{\circ}}=\displaystyle \frac{BM}{AB}\) として導出できることになります。

(3) は、黄金分割を活かした設問で、典型的な話題というわけではありませんが、対応力や活用力、幾何の総合力を試す実戦的な良問です。

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