実践演習 極限・微分積分系

1/n乗の対数の極限【logの服を着せる】【1991年度 北海道大学ほか】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

 

今回の話題は

\(\displaystyle\frac{1}{n}\)乗の対数の極限

です。

\(\displaystyle\frac{1}{3}\) の純情な感情

という曲がありました。

響きが似ていますね。

これが言いたかっただけです。

今回の話題は個人的に壊れるほど愛しているのですが、\(\displaystyle\frac{1}{3}\) も伝わればいいなと思います。

今のくだりが \(\displaystyle\frac{1}{3}\) も伝わらなかった方は原曲を聞いてください。

(以下ネタバレ注意)

 

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教科書には

区分求積法の式

\(\displaystyle \lim_{ n \to \infty } \displaystyle\frac{1}{n}\displaystyle \sum_{k=1}^n f(\displaystyle\frac{k}{n}) = \displaystyle \int_{0}^{1} f(x) dx\)

という区分求積法の公式があります。
(本来これも深い内容を含む話題ですが、それはまた別の機会に)

教科書には積分区間が 0 から 1 までのものが載っていますが、

一般の積分区間での区分求積法の式

\(\displaystyle \lim_{ n \to \infty } \displaystyle\frac{1}{n}\displaystyle \sum_{k=an+M}^{bn+N} f(\displaystyle\frac{k}{n}) = \displaystyle \int_{a}^{b} f(x) dx\)

という積分区間が \(a\) から \(b\) までのものについてもきちんと準備しておきましょう。

実戦的にはシグマの区間の \(n\) の係数とリンクしていますから、手際よく処理すればよいですが、もちろん

という図形的なイメージもきちんと押さえておきたいですね。

さて、本問についてですが、誘導があるために、\(\log\) を取ろうという気になると思います。

基本的に

\(P_{n}=( \  \  \  \ )^{\frac{1}{n}}\) という形に対して

\(\log P_{n}=\displaystyle\frac{1}{n}\log \sum_{ \ }^{ \ }\)

という形になるため、\(\displaystyle\frac{1}{n}\) 乗の部分が将来の区分求積法におけるパーツとなります。

一連の流れとシナリオについてはきちんと理解して、誘導に期待することなく解ききってほしいと思います。

実際北海道大学では誘導がありましたが、横浜国立大学の方は(2)単独での出題です。

そのために「くどい」と思うぐらいの類題を用意してますので、適宜ご活用ください。

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