３次方程式と整数解【誘導の活用】【2011年度 横浜国立大学】

(1) については問題ないと思います。

微分して \(f'(x)=3x^{2}-6x-4\) ですから \(f'(x)=0\) を考えれば

\(x=\displaystyle \frac{3\pm\sqrt{21}}{3}\)

を得ます。

(2) について

(1) の意味を考えると

３次方程式 \(f(x)=0\) が整数解をもつという一見整数問題分野の問題に見え、極値をとるときの \(x\) の値がどのように効いてくるのかが分かりづらいかもしれません。

グラフ的なアプローチを考えろというメッセージと受け止め、グラフを考えてみます。

３つの整数解を \(x_{1}\) ,  \(x_{2}\) ,  \(x_{3}\)  と設定すると「あれ？」と思いませんか？

\(x_{2}\) という整数が定数に挟まれています。

これにより、

整数 \(x_{2}\) がとり得る値は限られる

ことになり、範囲を絞った後は個別検証するという目途がたつでしょう。

(1) の活用に気が付かないと \(\cdots\)

例えば、「解と係数の関係」などから攻め落とせないかと考えた人もいるかと思います。

その場合、与えられた方程式を

\(-x^{3}+3x^{2}+4x=k\)

と「定数分離」という考え方で見るのが自然でしょうか。

この方程式が 3 つの整数解をもつときを考えるわけです。

この３つの整数解を \(x_{1}\) ,  \(x_{2}\) ,  \(x_{3}\)  と設定します。

\(y=-x^{3}+3x^{2}+4x\) と \(y=k\) の交点の \(x\) 座標が \(x_{1}\) ,  \(x_{2}\) ,  \(x_{3}\) であることと、\(x_{1}\) ,  \(x_{2}\) ,  \(x_{3}\) が整数解の前に実数解として存在することを考えると、この \(k\) の範囲は限られます。

解と係数の関係から \(x_{1}x_{2}x_{3}=-k\) であり ,  \(x_{1}\) ,  \(x_{2}\) ,  \(x_{3}\)  が整数であることを考えると \(k\) も整数となります。

整数 \(k\) の範囲が限られていることから、候補は限られ個別検証に持ち込むという目途が立ちます。

ただ計算してみると分かると思いますが、この \(k\) の範囲が広いため、個別検証しなければならない場合の数が多く、あまり現実的ではないと思われます。

２次方程式と整数解について

２次方程式と整数解についての問題についての実戦的な問題については

などもご活用ください。

骨がある問題ですが、それに見合う教訓も多いと思います。

３次方程式と整数解について

３次方程式と整数解についての問題で、本問とはまた味付けの違う問題も試してみたいという方は

なども良問です。

解答はコチラ