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２次関数の決定問題で、テーマとしては基礎的な部類に入ります。
本問はその中でも洞察力を要する良問です。
解ける人からすればなんてことはないのですが、なめてかかると「んっ？」となるかもしれません。
俗にいう「簡単な難問」という類の問題です。
（以下ネタバレ注意）
+ クリック（タップ）して続きを読む \(f(x)=ax^{2}+bx+c \ (a \neq 0)\) と設定し、 として、代入を狙っていくのは、見るからに茨の道でこのまま押し通るのは筋が悪いでしょう。 何も考えなければ、\(2^{4}=16\) 通りありますので、代入によって \(a\) , \(b\) , \(c\) の連立方程式を解き、押し通すのは限界があります。 そこで、２次関数のグラフ的特徴を活かすことを考えます。 与えられた条件を満たすとなると といういずれかとなります。 いずれのケースにせよ、放物線のもつ線対称性から ということになります。 そこで、軸の情報を活かし、 \(f(x)=a(x-\displaystyle \frac{5}{2})^{2}+q\) と設定するのがよいでしょう。 通過点は \((1 \ , \ 1)\) , \((2 \ , \ -1)\) , \((3 \ , \ -1)\) , \((4 \ , \ 1)\) ですが、４点を代入する必要はありません。 放物線の線対称性から、\((3 \ , \ -1)\) , \((4 \ , \ 1)\) を通ることが確定すれば、\((1 \ , \ 1)\) , \((2 \ , \ -1)\) は自動的に通ります。 \(a \gt 0\) のときと同様に右半分の \((3 \ , \ 1)\) , \((4 \ , \ -1)\) という点を通ることを立式すればOKです。 特別なことは特に何もしていませんが、式のみに拘ってしまうと身動きがとりづらくなります。 冒頭頭の柔らかさを試す問題と言いましたが、ニュアンス的には頭の固い受験生を浮き彫りにするという要素の方が強いかもしれません。まともにぶつかると
条件を視覚化
\(a \gt 0\) のとき
\(a \lt 0\) のとき
振り返ってみると