問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）
個人的に大好きな問題です。
急所に辿り着くと一気に話が進んでいきます。
（以下ネタバレ注意）
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まともに考えると
与えられた条件である \displaystyle \int_{-1}^{1}|3x^{2}+2ax+b| dx の処理が面倒です。
y=|3x^{2}+2ax+b| のグラフが
なのか
なのかで話が変わりますし、x 軸に関して折り返している場合においては
といったように積分区間との絡みがどうなっているかなど、大騒ぎになります。
よくよく考えてみると
一通り大騒ぎした後、ふと冷静になって考えると
この大騒ぎするケースってそもそもの放物線が x 軸に突き刺さっている場合だよな？
となるでしょう。
放物線 y=3x^{2}+2ax+b が x 軸に突き刺さっているということを証明せよ
という問題なのに、「突き刺さっている場合メンドくせぇ」と悩んでいることがおかしなことです。
突き刺さっているなら証明もへったくれもありません。
「突き刺さっていないということがあり得ない」ということを示せばよいことになります。
この流れであれば背理法が自然に見えてくるはずです。
この後は気持ちよく話が進んでいきますし、気持ちよく矛盾します。