(1) について
従属２変数関数の最大最小問題では文字消去ができれば、文字消去して考えるのが手っ取り早いわけですが、本問は文字消去できません。
そんなとき逆像法の出番です。
例えば
と考えます。
つまり、\(x^{2}-6xy+12y^{2}=1\) を満たしつつ、\(x+3y=1\) になれるかな？という問題で、
$$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x^{2}-6xy+12y^{2}= 1 \\
x + 3y = 1
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$$
という連立方程式の解 \((x \ , \ y)\) が正の組として存在するかどうかが、\(x+3y=1\) になれるか、なれないかの分かれ目ということになります。
ここから、\(x\) が消しやすそうなので、\(x=1-3y\) として、\(x^{2}-6xy+12y^{2}= 1\) に代入すると、
\((1-3y)^{2}-6y(1-3y)+12y^{2}=1\)
すなわち
\(39y^{2}-12y=0\)
となり、\(y \gt 0\) を考えると、\(y=\displaystyle \frac{4}{13}\) ということになります。
このとき
\(x=1-\displaystyle \frac{12}{13}=\displaystyle \frac{1}{13}\)
と正の値として存在します。
つまり、
\(x^{2}-6xy+12y^{2}=1\) を満たしつつ、\(x+3y=1\) になれるかな？
という疑問に対して、\((x \ , \ y)=(\displaystyle \frac{1}{13} \ , \ \displaystyle \frac{4}{13})\) をもってくれば、
\(x^{2}-6xy+12y^{2}=1\) を満たしつつ、\(x+3y=1\) になれる
と結論付けることができるわけです。
じゃあ、
ということについても同じことですね。
\(x^{2}-6xy+12y^{2}=1\) を満たしつつ、\(x+3y=2\) になれるかな？という問題で、
$$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x^{2}-6xy+12y^{2}= 1 \\
x + 3y = 2
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$$
という連立方程式の解 \((x \ , \ y)\) が正の組として存在するかどうかが、\(x+3y=2\) になれるか、なれないかの分かれ目ということになります。
このように、具体的に
\(x+3y=1\) になるかな？ \(x+3y=2\) になるかな？ \(x+3y=\displaystyle \frac{1}{3}\) になるかな？ \(\cdots\)
と「しらみつぶしに」調べつくすことができれば、理屈上は \(x+3y\) がとり得る値の最大値を最小値は把握できるわけです。
とは言え、本当に具体的な数に対して全て調べつくすのは大変です。
そこで、
\(x+3y=k\) になるかな？ なれるとしたらどんな \(k\) ？
と、文字の力を借りてしらみつぶすことを考えます。
これにより、
$$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x^{2}-6xy+12y^{2}= 1 \\
x + 3y = k
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$$
という連立方程式が正の値の組を解にもつための \(k\) の条件を求めることになります。
その \(k\) の条件（範囲）こそ、我々がほしい \(x+3y\) のとり得る範囲であり、それを把握できれば最大値も求められるわけです。
(2) についても同様の考え方です。
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