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等式・不等式の証明問題の問題として、本問は要点が凝縮されています。
そのためか練習問題として様々な問題集に収録されています。
演習の初期としては手ごろなレベルだと思います。
経験の有無に左右されるポイントや急所を含んでいますが、逆に言えば勉強していれば試験場では確保できる問題です。
（以下ネタバレ注意）
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パッと思いつく方針としては
\(x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz=(x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx)\)
という因数分解を活用する方針です。
これについてはちょこちょこ出てくる因数分解なので、準公式として常識化しておきましょう。
(2) の不等式証明については
有名不等式
\(x\) , \(y\) , \(z\) を実数とするとき
\(x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx \geq 0\)
が決め手となります。
これについては
\(x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx=\displaystyle \frac{1}{2} \{ (x-y)^{2}+(y-z)^{2}+(z-x)^{2} \}\)
という恒等式が急所になりますが、経験の有無で差がつくでしょう。
また、この方針以外にも、与えられた式の特徴を活かした別解も考えられます。
その方針は少し大げさな方針かもしれませんが、勉強にはなると思うので、ぜひ考えてみてもらえたらと思います。
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