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本問は確率の要素はあまりなく、\(P (a,b,c)\) を立式すること自体そんなに難しくありません。
問われているのは、その立式後の「式の扱い」についてです。
（以下ネタバレ注意）
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\(ab+bc+ca=\frac{1}{2}\{(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)\}\)
はたびたび登場する式変形なので、常識化しておきたいところです。
そもそもなのですが、２色が出てくる確率を高めるには、出来る限り均等に色を用意するように、３個、４個、４個とするのが最善であるのは直感的には当然です。
しかし、さすがにその直感を前面に押し出すような解答は許されないでしょう。
本問は細々とした別解も考えられます。色々考えてみるのも楽しいですね。
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