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漸化式の基本パターン

漸化式の解法基本パターン 第1講【2項間漸化式:ズラせば等比数列】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

漸化式は問題を解く中で処理しなければならない場面が多々あります。

確率漸化式などの確率や場合の数の分野との融合

点列など、座標との融合

整数問題との融合

など、漸化式は道具として使う場面が多々あります。

漸化式が立式できても、それが解けないとなると意味がありませんから、基本的な漸化式についてはきちんと処理できる必要があります。

そこで基本的な漸化式について一通りこのシリーズで押さえておきたいと思います

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漸化式の解法基本パターン 第2講【2項間漸化式:心霊写真型】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) このシリーズの一覧はこちら   前回の第1講で扱った Type 1 a_{n+1}=pa_{n}+q  ( p \neq 1 ) の派生形として今回は Type 2 (心霊写真型) a_{n+1}=pa_{n}+q^{n}  ( p \neq 1 )  ( q の肩になんか乗ってる ) というタイプを扱います。   この心霊写真型の除霊の仕方は2パターンあり 心霊写真型の除霊の仕方 ...

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漸化式の解法基本パターン 第3講【2項間漸化式:分数型】

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第1講は

a_{n+1}=pa_{n}+q  ( p \neq 1 )

という一番オーソドックスかつ頻出なタイプです。

これについては

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} a_{n+1}  = pa_{n}+q \\ \alpha = p\alpha+q \end{array} \right. \end{eqnarray}

という \alpha を考えて辺々を引けば

a_{n+1}-\alpha=p(a_{n}-\alpha) を得て、b_{n}=a_{n}-\alpha とおけば b_{n+1}=pb_{n}

という等比数列の構造を得ることになります。

よく

a_{n+1}=a_{n}=\alpha としていい理由が分かりません。」

という質問や声がありますが、a_{n+1}=a_{n}=\alpha とするというわけではなく、

\alpha = p\alpha+q を満たす特別な \alpha を考えることで、a_{n+1}  = pa_{n}+q という漸化式を

a_{n+1}-\alpha=p(a_{n}-\alpha) とうまい形に変形できるというニュアンスです。

このうまい式変形を生み出す \alpha = p\alpha+qa_{n+1}  = pa_{n}+q に対する特性方程式と呼ばれます。

この形については難関大に限らず、解けて然るべき形になりますので、その対応については必ずできるようにしておく必要があります。

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