整数問題【評価の工夫】【行き詰まったときのリカバリー】【2007年度 大分大学】

与えられた方程式は $(x+3)(y+2)=12$ と変形できる。

$x+3 , \ y+2$  はともに自然数なので

$(x+3 ,  \ y+2)=(1, 12) \ (2 , 6) \ (3 , 4) \ (4 , 3) \ (6 , 2) \ (12 , 1)$

よって ,  $(x , \ y)=(-2 , 10) \ (-1 , 4) \ (0 ,  2) \ (1 , 1) \ (3 , 0) \ (9 , -1)$

このうち、$x , \ y$ がともに自然数である組は

$$(x , \ y)=(1 , \ 1)$$

以下 , $k$ は整数とする。

$<1> \  \ m=3k$  のとき

$m^2=9k^2$  で , $m^2$ を $3$ で割った余りは $0$

$<2> \  \ m=3k\pm 1$   のとき

$m^2=9k^2\pm6k+1=3 \ (3k^2\pm2k)+1$  で , $m^2$ を $3$ で割った余りは $1$

よって、平方数 $m^2$ を $3$ で割った余りは $0$ または $1$ に限られ、題意は示された。

問題の対称性からひとまず $x \leq y \leq z$ として考える。

このとき , $x+y+z \leq z+z+z$ であり , 条件から , $xyz \leq 3z$

すなわち , $xy \leq 3$

これより ,  $(x , \ y)=(1 ,  \ 1) , \ \ (1 , \ 2) ,  \ \ (1 , \ 3)$

$<1>  (x , \ y)=(1 ,  \ 1)$ のとき

与えられた条件式から , $z=2+z$ でこれを満たす $z$ は存在しない。

$<2>  (x , \ y)=(1 ,  \ 2)$ のとき

与えられた条件式から , $2z=3+z$ で ,  $z=3$ を得る。
（これは $x \leq y \leq z$ を満たす。）

$<3>  (x , \ y)=(1 ,  \ 3)$ のとき

与えられた条件式から , $3z=4+z$ で ,  $z=2$ を得る。
（これは $x \leq y \leq z$ を満たさない。）

以上 $<1>$ , $<2>$ , $<3>$ から

$(x , \ y , \ z)=(1 , \ 2 , \ 3)$

実際には  $x \leq y \leq z$  という制限はないので

$(x , \ y , \ z)=(1 , \ 2 , \ 3) , \ \ (1 , \ 3 , \ 2) , \ \ (2 , \ 1 , \ 3) , \ \ (2 , \ 3 , \ 1) , \ \ (3 , \ 1 , \ 2) , \ \ (3 , \ 2 , \ 1)$