放物線と２直線で囲まれる部分の面積【1999年度 大阪府立大学】

領域の図示

ひとまず題意の領域を図示したいと思います。

放物線 $y=x^{2}$ の上側というのはいいでしょう。

$(y-kx-1)(y-kx-x-1) \leq 0$

という領域は

$$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} y-kx-1 \geq 0 \\ y-kx-x-1 \leq 0 \end{array} \right. \end{eqnarray}$$

または

$$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} y-kx-1 \leq 0 \\ y-kx-x-1 \geq 0 \end{array} \right. \end{eqnarray}$$

すなわち

$$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} y \geq kx+1 \\ y \leq (k+1)x+1 \end{array} \right. \end{eqnarray}$$

または

$$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} y \leq kx+1 \\ y \geq (k+1)x+1 \end{array} \right. \end{eqnarray}$$

ということになり、図示すると

という図の斜線部分（境界線を含む）ということになります。

路線１：まともに計算

というように

• $y=x^{2}$ と $y=kx+1$ との交点を $\mathrm{A}$ ,  $\mathrm{B}$
• $y=x^{2}$ と $y=(k+1)x+1$ との交点を $\mathrm{C}$ ,  $\mathrm{D}$

とし、$\mathrm{P}$$(0 \ , \ 1)$ と設定します。

これを

• $\triangle{\mathrm{PAC}}$ ,  $\triangle{\mathrm{PBD}}$ は成分表示された三角形の面積公式
• 残りの部分は $\displaystyle \frac{1}{6}$ 公式

を用いて捌いていくのが直接的で思いつきやすい方針でしょう。

ただし、この路線はまともに計算を進めていくと、冒頭述べたように心が折れてしまいかねません。

完遂するためには、工夫が必要です。

ただ、その工夫というのは、目がチカチカする部分を置き換えて

目に優しく処理する

という単純かつ強力な工夫です。

「置き換えは幼稚」という謎の固定観念をもった受験生も少なくないのですが、決してバカにしてはいけない工夫です。

この路線は【解１】で扱っています。

路線２：傾きをメインの変数と見る

という面積を

• 傾き $k$ から傾き $k+1$ に変化した際の面積の変化量

と捉えます。

どういうことかというと

という傾き $m$ に依存する面積 $T(m)$ を先回りして計算しておくのです。

すると、$x \geq 0$ という右半分の面積は

$T(k+1)-T(k)$

という

傾きが $k$ から $k+1$ に変化した際の変化量

の形で立式できるわけです。

じゃあ $x \leq 0$ の領域である左半分はどうするの？

という話ですが、これについては $y$ 軸について対称移動させてしまい

という図で考えればよく、

$S(k)=\{T(k+1)-T(k)\}-\{T(-k)-T(-k-1)\}$

ということになるわけです。

それにしても、計算量は極端に減るわけではなく、工夫をしながら計算を進めていく必要があるでしょう。

これについては【解２】で取り扱っています。

路線３（参考）：傾きを積分変数と見る

路線２は傾きをメインの変数と見て、傾き $m$ に依存する面積を先回りして計算し、

傾き $k$ から傾き $k+1$ へ変化した際の変化量

ととらえる方針でした。

これを発展させて、

• じゃあもういっそのこと、傾き $m$ を積分変数として見てしまえ

という考えもあります。

ただし、これについてはあくまで観賞用のものだと思いますので、【総括】のあとに参考として触れてあります。

(2) について

正直 (1) ができれば、(2) はそこまで難しくありません。

むしろ (1) ができた人へのご祝儀的な設問です。

(1) が正しく立式できていれば

$S(k)=\displaystyle \frac{1}{2}k^{2}+\displaystyle \frac{1}{2}k+\displaystyle \frac{7}{6}$

と出ているはずです。

したがって、

$\displaystyle \frac{1}{2}k^{2}+\displaystyle \frac{1}{2}k+\displaystyle \frac{7}{6}=\displaystyle \frac{1}{2}k^{3}$

という方程式を整理すると

$3k^{3}-3k^{2}-3k-7=0$

という３次方程式が得られます。

この３次方程式が正の実数解をただ１つもつことを示せばよく、手なりに微分して増減表を得ることで示すことができるでしょう。

解答はコチラ