放物線と円の共有点の個数【方程式の解の意味】【2015年度 大阪市立大学ほか】

共有点を考察するにあたって

$x^{2}+y^{2}=1$ と $y=ax^{2}+b$

を連立することを考えます。

よくこの手の問題で解説されているのは

です。

確かに、次数的には $y$ についての $2$ 次方程式となるため、処理しやすいという点ではメリットがあります。

ただし、注意していなかったり、根本的な理解に努めていないと事故る可能性も秘めています。

（【総括】でも少し触れています）

それに対して、

も考えられます。

そうなると、$x^{2}+(ax^{2}+b)^{2}=1$ となり、整理すると

$a^{2}x^{4}+(2ab+1)x^{2}+b^{2}-1=0$

という $x$ に関しての 4 次方程式が登場します。

とは言え、見かけ上は４次ですが、$x^{2}$ を塊と見れば実質は２次の処理でいけます。（複２次の形）

確かに

というように、共有点の個数が４個あるようなケースもあるため、

実数解の個数と共有点の個数がリンクして考えやすい

というメリットがあります。

用意した解答は

• $x^{2}$ を消去する方針【路線１】
• $y$ を消去する方針【路線２】

の２路線用意してあります。

共有点が２個のケース【(1) について】

このケースは $-1 \lt b \lt1$ であれば、$a$ の値に関わらず成立します。

直感的に明らかですが、式的にバックボーンを立てようと思うと、$y$ を消去する【路線２】の方がやりやすいと思います。

（このあたりは【解答】で確認してください。）

のケースは【路線１】で得る $y$ の２次方程式が重解をもつという翻訳で進めるのが基本路線ですが、ただ重解をもつだけでなく、$-1 \lt y \lt 1$ の範囲内に重解をもつという部分まで考える必要があります。

なお、 $y$ の２次方程式が重解をもつということは、判別式が $0$ ということになります。

そこで問題提起

なぜ、判別式が $0$ という処理をした際、

という状況が出てきて

や

は出てこないのか

これについては【総括】の後で触れています。

ヒントは「重解」という言葉の意味を分かっていますか？ということです。

共有点が３個のケース【(2) について】

というケースなので、直感的に $b=-1$ のときというのは分かると思います。

ただ、それはあくまで必要条件で、それで十分かと言われるとマズいですね。

ということも考えられるわけです。

つまり、開き具合を司る $a$ はある程度大きくないといけないわけです。

このあたりをどのように式に教えてもらうかについても【路線１】【路線２】双方でマスターしましょう。

※このあたりは曲率半径の話題とも関わってきますが、その話は別の機会にします。

共有点が４個のケース【(3) について】

むしろ、これが一番分かりやすいかもしれません。

【路線１】の $y$ の２次方程式の解の意味（交点の $y$ 座標という意味）も見えやすいです。

【路線２】の $x$ の４次方程式の解の意味（交点の $x$ 座標という意味）も見えやすいです。

個人的にこれが (1) でもいいんじゃないかとさえ思います。

類題について

類題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）

(2) が今回の話題の円と放物線の共有点の個数に関する考察です。

例題と違い、今回の円 $C$ には対称性がありません。

したがって、文字消去する際の判断力も問われます。

また、円 $C$ を

• $(x-p)^{2}+(y-q)^{2}=r^{2}$
• $x^{2}+y^{2}+ax+by+c=0$

のどちらで設定するかという判断力も問われます。

この選択によって微妙にとる態度が変わってくると思います。

解答を聞くだけではもったいない問題で、このあたりを考えるのも一興です。

例題の解答はコチラ

類題の解答はコチラ