仮想難関大（オリジナル予想問題）【不等式の証明～形を活かす～】

示すべき形

示すべき不等式の分母を払うと

\((a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}+n)^{2} \geq 4n ({a_{1}}^{2}+{a_{2}}^{2}+\cdots+{a_{n}}^{2})\)

すなわち

\((a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}+n)^{2}-4n ({a_{1}}^{2}+{a_{2}}^{2}+\cdots+{a_{n}}^{2}) \geq 0 \)

という不等式となります。

この

\(〇^{2}-4□ \geq 0\)

という示すべき不等式の形を見てあるものをインスピレーション出来るでしょうか？

そう、

• (２次方程式の) 判別式

です。

ここから

\(x^{2}+(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}+n)x+n({a_{1}}^{2}+{a_{2}}^{2}+\cdots+{a_{n}}^{2})=0\)

という２次方程式を考えたくなると思います。

この２次方程式の判別式 \(D\) が

\(D=(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}+n)^{2}-4n ({a_{1}}^{2}+{a_{2}}^{2}+\cdots+{a_{n}}^{2})\)

です。

目指すべきは \(D \geq 0\) であるため、

\(f(x)=x^{2}+(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}+n)x+n({a_{1}}^{2}+{a_{2}}^{2}+\cdots+{a_{n}}^{2})\)

とおいたとき、

• \(f(x)=0\) が少なくとも１つ実数解をもつ

ということが言えればいいわけです。

実数解をもつことを示すために何が言えればいいのか

通常は、

• 実数解をもつことを示すために、判別式を調べる

という流れになりますが、今回は

• 判別式が \(0\) 以上であることを示すために、実数解をもつことを示す

という逆の流れです。

したがって、\(f(x)\) を平方完成してもあまり意味がありません。

\(y=f(x)\) のグラフは下に凸の放物線ですから、

• \(f(☆) \leq 0\) となるような \(☆\) を見つける

というのが最も直接的な方法でしょう。

「見つける」というのは、文字通り

• 何か１つでも見つけたら勝ち

ということです。

ここから先は、多少試行錯誤が必要だと思います。

何か１つ見つけたら勝ちと言えども、見つかるかどうかというのは案外差がつく要素かもしれません。

ひとまずここまでにしておきます。

詳しくは解答PDFを確認してください。

同様の考え方をする有名テーマ

本問と同様に、形から判別式をインスピレーションする有名テーマとしては

コーシー・シュワルツの不等式

があります。

それについては

も参考にしてください。

解答はコチラ