(1) について
このシリーズで散々扱ってきた連立漸化式の作成であり、ここまできたら迷う余地はありません。
$$\begin{eqnarray}
(1+\sqrt{2})^{n+1} &=& (1+\sqrt{2})^{n}(1+\sqrt{2}) \\
&=& (x_{n}+y_{n}\sqrt{2})(1+\sqrt{2})\\
&=& (x_{n}+2y_{n})+(x_{n}+y_{n})\sqrt{2}
\end{eqnarray}$$
とすることで、
$$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x_{n+1} = x_{n}+2y_{n} \\
y_{n+1} = x_{n}+y_{n}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$$
という結論を得ます。
ただし、単純に比較してよいのかという問題はありますので、解答ではそのあたりをキッチリと詰めます。
(2) について
(1) で得られる
$$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x_{n+1} = x_{n}+2y_{n} \\
y_{n+1} = x_{n}+y_{n}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$$
という連立漸化式から
$$\begin{eqnarray}
{x_{n+1}}^{2}-2{y_{n+1}}^{2} &=& (x_{n}+2y_{n})^{2}-2(x_{n}+y_{n})^{2} \\
&=& -({x_{n}}^{2}-2{y_{n}}^{2})
\end{eqnarray}$$
と、等比数列の構造を得ます。
\((1+\sqrt{2})^{1}=1+1\sqrt{2}\)
より
\(x_{1}=1\) , \(y_{1}=1\)
です。
つまり
- 初項：\({x_{1}}^{2}-2{y_{1}}^{2}=-1\)
- 公比：\(-1\)
ということなので、
\({x_{n}}^{2}-2{y_{n}}^{2}=(-1)^{n}\)
を得て、題意が示されます。
路線２：数学的帰納法
(1) で漸化式が得られていますから、漸化式と相性のよい数学的帰納法でも示せます。
それについては【解２】で触れています。
(3) について
いよいよ、この問題のオチです。
よい近似値
ということがどういうことかを数式的にどのように表現するかが問題です。
良い近似値ということは
誤差が小さい
ということです。
つまり、注目すべきは
\(|\displaystyle \frac{x_{n}}{y_{n}}-\sqrt{2}|\)
という誤差を表す式です。
これに注目し、
\(|\displaystyle \frac{x_{n}}{y_{n}}-\sqrt{2}| \gt |\displaystyle \frac{x_{n+1}}{y_{n+1}}-\sqrt{2}|\)
ということが言えれば、誤差が小さくなり、よい近似値であるということの証明となります。
今回、色々な別解を載せていますが、結局はこの「誤差が小さくなる」という目標に向かって進めていくという方針は変わりません。
解答はコチラ
