２種類の数列を並べ替えてできる数列【2004年度　岡山大学】

(1) について

実験して要領を掴むための設問です。

$a_{1}=2$ ,  $a_{2}=5$ ,  $a_{3}=10$ ,  $a_{4}=17$ ,  $a_{5}=26$ ,  $\cdots$

$b_{1}=6$ ,  $b_{2}=15$ ,  $b_{3}=30$ ,  $b_{4}=51$ ,  $\cdots$

となりますから、小さい方から並べていくと

$c_{1}=2$ ,  $c_{2}=5$ ,  $c_{3}=6$ ,  $c_{4}=10$ ,  $c_{5}=15$ ,  $c_{6}=17$ ,  $\cdots$

となり、$c_{4}=10$ ,  $c_{5}=15$ ,  $c_{6}=17$  と求まります。

(2) について

観察力の問題で、$b_{n}$ は全て 3 の倍数です。

ここを皮切りに、$a_{n}$ は 3 の倍数にならないのでは？と疑うことができれば、整数問題の基本である

「余りで分類する」

という態度で、$n=3k$ ,  $n=3k+1$ ,  $n=3k+2$ などと $n$ を 3 で割った余りで分類し、場合分けをしていくことになります。

(3) について

「 $b_{n}$ から連続で $\{c_{n}\}$ に採用されない」という否定的な命題であることから、背理法と言う路線を考えていきたいところです。

よって、 「$b_{n}$ から連続で $\{c_{n}\}$ に採用されることがある」と仮定します。

この後が問題であり、

という部分で頭を使うことになるでしょう。

① について

$a_{M} \lt b_{N} \lt b_{N+1} \lt a_{M+1}$ となる自然数 $M$ ,  $N$ が存在する

というように翻訳すればよいでしょう。

イメージとしては

$a_{M}$ ,  $a_{M+1}$ という連続する $\{a_{n}\}$ 側採用の項の間に$b_{N}$ ,  $b_{N+1}$ という$\{b_{n}\}$ 側採用の項が連続で入ってくる

という感じです。

②について

解き進めていくうちに分かる部分もあるかもしれませんが、

一番最初の実験から得られる

という感覚がモノを言うところが大きいと思います。

要するに、歩幅の大きい$\{b_{n}\}$ 側の間に、小刻みに増えていく$\{a_{n}\}$ 側の項が入ってしまうため、連続しないのであろうことが感覚的に分かると思います。

つまり、最後の矛盾の仕方については

幅の問題（不等式的な問題）で矛盾するであろう

ことが考えられます。

このあたりを見据えながら①で考えた不等式を変形していきます。

この部分を場当たり的に進めてしまうと、解けるかもしれませんが、右往左往する可能性が出てくると思います。

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