実践演習 方程式・不等式・関数系

2次関数の決定【頭の柔らかさを試す】【2004年度 東京電機大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

2次関数の決定問題で、テーマとしては基礎的な部類に入ります。

本問はその中でも洞察力を要する良問です。

解ける人からすればなんてことはないのですが、なめてかかると「んっ?」となるかもしれません。

俗にいう「簡単な難問」という類の問題です。

(以下ネタバレ注意)

 

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まともにぶつかると

\(f(x)=ax^{2}+bx+c \ (a \neq 0)\)

と設定し、

  • \(f(1)=\pm 1\)
  • \(f(2)=\pm 1\)
  • \(f(3)=\pm 1\)
  • \(f(4)=\pm 1\)

として、代入を狙っていくのは、見るからに茨の道でこのまま押し通るのは筋が悪いでしょう。

何も考えなければ、\(2^{4}=16\) 通りありますので、代入によって \(a\) ,  \(b\) ,  \(c\)  の連立方程式を解き、押し通すのは限界があります。

そこで、2次関数のグラフ的特徴を活かすことを考えます。

条件を視覚化

与えられた条件を満たすとなると

といういずれかとなります。

いずれのケースにせよ、放物線のもつ線対称性から

  • 軸が \(x=\displaystyle \frac{5}{2}\)

ということになります。

そこで、軸の情報を活かし、

\(f(x)=a(x-\displaystyle \frac{5}{2})^{2}+q\)

と設定するのがよいでしょう。

\(a \gt 0\) のとき

通過点は

\((1 \ , \ 1)\) ,  \((2 \ , \ -1)\) ,  \((3 \ , \ -1)\) ,  \((4 \ , \ 1)\)

ですが、4点を代入する必要はありません。

放物線の線対称性から、\((3 \ , \ -1)\) ,  \((4 \ , \ 1)\) を通ることが確定すれば、\((1 \ , \ 1)\) ,  \((2 \ , \ -1)\) は自動的に通ります。

\(a \lt 0\) のとき

\(a \gt 0\) のときと同様に右半分の

\((3 \ , \ 1)\) ,  \((4 \ , \ -1)\)

という点を通ることを立式すればOKです。

振り返ってみると

特別なことは特に何もしていませんが、式のみに拘ってしまうと身動きがとりづらくなります。

冒頭頭の柔らかさを試す問題と言いましたが、ニュアンス的には頭の固い受験生を浮き彫りにするという要素の方が強いかもしれません。

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