実践演習 方程式・不等式・関数系

2次方程式と定積分の論証【1982年度 関西大学】

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個人的に大好きな問題です。

急所に辿り着くと一気に話が進んでいきます。

(以下ネタバレ注意)

 

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まともに考えると

与えられた条件である \(\displaystyle \int_{-1}^{1}|3x^{2}+2ax+b| dx\) の処理が面倒です。

\(y=|3x^{2}+2ax+b|\) のグラフが

なのか

なのかで話が変わりますし、\(x\) 軸に関して折り返している場合においては

といったように積分区間との絡みがどうなっているかなど、大騒ぎになります。

よくよく考えてみると

一通り大騒ぎした後、ふと冷静になって考えると

この大騒ぎするケースってそもそもの放物線が \(x\) 軸に突き刺さっている場合だよな?

となるでしょう。

放物線 \(y=3x^{2}+2ax+b\) が \(x\) 軸に突き刺さっているということを証明せよ

という問題なのに、「突き刺さっている場合メンドくせぇ」と悩んでいることがおかしなことです。

突き刺さっているなら証明もへったくれもありません。

「突き刺さっていないということがあり得ない」ということを示せばよいことになります。

この流れであれば背理法が自然に見えてくるはずです。

この後は気持ちよく話が進んでいきますし、気持ちよく矛盾します。

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