実践演習 方程式・不等式・関数系

2変数の扱い【独立2変数の扱いその1】【1990年度 東京都立大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

 

 

不等式の証明形式で問いかけられていますが、結局左辺の独立2変数関数の最小値が5であることを言えばいいので、実質的には最大最小問題です。

独立2変数関数の最大最小問題については「予選決勝法」が有力な方針です。

「1つを変数、他を定数」

これが予選決勝法のキーワードです。

step
1
まず、他のもの(文字や点)を固定し、一つずつ動かしてそのときの最大(最小)を出す。

ここでは \(x ,  y\) の独立2変数関数の最小を例に出します。

例えば、\(y\) を固定して、\(x\) だけ動かしたときの最小値を求めます。

ここで得られるのは、

\(y=1\) のときの最小値、\(y=2\) のときの最小値、\(y=3\) のときの最小値、\(\cdots\)

といったような最小値「たち」です。
(これがいわば予選通過者で、\(y\) の式で与えられています)

step
2
次に固定していたものの固定を外し、総合的な最大(最小)を出す。

strp 1 で得られた最小値たちの中の最小値を求めにいきます。

それはすなわち

\(y\) がどんな値のときの最小値が「king of 最小値」なのか

ということですから、先ほど固定していた \(y\) の固定を外して動かしていきます。

そのときの最小値こそ総合的な最小値ということになります。

 

 

さて、本問は形から相加平均・相乗平均の形も目につきます。

ただし、その場合ある工夫が必要になりますし、注意事項も多いです。

詳しくは解答の中で解説しています。

 

独立2変数関数の最大最小問題へのアプローチとして考えられる主な手法をまとめると以下のようになります。

独立2変数関数の最大最小問題の手法

方法1:予選決勝法

方法2:逆像法(線形計画法など)

方法3:絶対不等式の活用(相加・相乗平均の関係、シュワルツの不等式、など)

 

比較対象として従属2変数関数の最大最小問題へのアプローチもまとめてみます。

 

 

従属2変数関数の最大最小問題の手法

方法1:文字消去

方法2:逆像法(実数解条件や線形計画法など)

方法3:絶対不等式の活用

 

これらに関しては繰り返し色々な問題を経験することで染み込ませたいところです。

 

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