問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）
今回は難関大を目指すにあたっては避けて通れない話題である「逆像法」について扱います。
このシリーズを通じて
- 逆像法のもつイメージ
- 逆像法の代表的な使いどころ
をマスターし、状況に応じて自分で使いこなせるようにすることでライバルに差をつけましょう。
このシリーズの一覧はこちら
逆像法 第２講【座標変換への応用】【線形計画法の考え方の素】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 逆像法シリーズの第２講は 座標変換への応用 線形計画法 と逆像法についての関連を見ていきます。 このシリーズの一覧はこちら （以下ネタバレ注意） + クリック（タップ）して続きを読む (1) について (x \ , \ y) という座標から (x+y \ , \ xy) という座標への変換を考える問題です。 1954年に東大が出題したのが元祖で、通称「エンマさまの唇問題」と呼ばれている ...
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 逆像法シリーズ第３講は 通過領域 という難関大入試でも頻出の話題について扱います。 このシリーズの一覧はこちら （以下ネタバレ注意） + クリック（タップ）して続きを読む 直接目で追いきれないので \cdots 今回、a が動くにつれて円 C_{a} も動くわけですが、中心、半径が同時に動くため、ラフな動きはともかく、細かな動きを目で追いきることは難しいでしょう。 そこで、逆に ...
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 逆像法第４講は 方程式の実数解がとり得る値の範囲 を考えるにあたって、逆像法が活用できるということを見ていきます。 このシリーズの一覧はこちら （以下ネタバレ注意） + クリック（タップ）して続きを読む (1) について これについては２次方程式の解に関する注文が入ってくる、いわゆる「解の配置問題」です。 整理しないとグチャグチャになりやすいタイプだと思います。 x=0 を解にもつとき x=2 を解 ...
逆像法 第１講【逆像法の考え方と使いどころをマスター】【最大最小問題への応用】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 今回は難関大を目指すにあたっては避けて通れない話題である「逆像法」について扱います。 このシリーズを通じて 逆像法のもつイメージ 逆像法の代表的な使いどころ をマスターし、状況に応じて自分で使いこなせるようにすることでライバルに差をつけましょう。 このシリーズの一覧はこちら 代表的な使いどころ 入試によく出題される話題の中で、逆像法が有効にはたらく場面というのは以下の話題です。 逆像法の代表的な使いどころ 最大最小問題への応用 ...
逆像法 第２講【座標変換への応用】【線形計画法の考え方の素】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 逆像法シリーズの第２講は 座標変換への応用 線形計画法 と逆像法についての関連を見ていきます。 このシリーズの一覧はこちら （以下ネタバレ注意） + クリック（タップ）して続きを読む (1) について (x \ , \ y) という座標から (x+y \ , \ xy) という座標への変換を考える問題です。 1954年に東大が出題したのが元祖で、通称「エンマさまの唇問題」と呼ばれている ...
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逆像法 第１講【逆像法の考え方と使いどころをマスター】【最大最小問題への応用】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 今回は難関大を目指すにあたっては避けて通れない話題である「逆像法」について扱います。 このシリーズを通じて 逆像法のもつイメージ 逆像法の代表的な使いどころ をマスターし、状況に応じて自分で使いこなせるようにすることでライバルに差をつけましょう。 このシリーズの一覧はこちら 代表的な使いどころ 入試によく出題される話題の中で、逆像法が有効にはたらく場面というのは以下の話題です。 逆像法の代表的な使いどころ 最大最小問題への応用 ...
逆像法 第２講【座標変換への応用】【線形計画法の考え方の素】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 逆像法シリーズの第２講は 座標変換への応用 線形計画法 と逆像法についての関連を見ていきます。 このシリーズの一覧はこちら （以下ネタバレ注意） + クリック（タップ）して続きを読む (1) について (x \ , \ y) という座標から (x+y \ , \ xy) という座標への変換を考える問題です。 1954年に東大が出題したのが元祖で、通称「エンマさまの唇問題」と呼ばれている ...
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 逆像法シリーズ第３講は 通過領域 という難関大入試でも頻出の話題について扱います。 このシリーズの一覧はこちら （以下ネタバレ注意） + クリック（タップ）して続きを読む 直接目で追いきれないので \cdots 今回、a が動くにつれて円 C_{a} も動くわけですが、中心、半径が同時に動くため、ラフな動きはともかく、細かな動きを目で追いきることは難しいでしょう。 そこで、逆に ...
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 逆像法第４講は 方程式の実数解がとり得る値の範囲 を考えるにあたって、逆像法が活用できるということを見ていきます。 このシリーズの一覧はこちら （以下ネタバレ注意） + クリック（タップ）して続きを読む (1) について これについては２次方程式の解に関する注文が入ってくる、いわゆる「解の配置問題」です。 整理しないとグチャグチャになりやすいタイプだと思います。 x=0 を解にもつとき x=2 を解 ...
代表的な使いどころ
入試によく出題される話題の中で、逆像法が有効にはたらく場面というのは以下の話題です。
逆像法の代表的な使いどころ
- 最大最小問題への応用
- 方程式の実数解のとり得る範囲
- 線形計画法
- 通過領域
今回の第１講では、「最大最小問題への応用」について扱います。
逆像法の核となる考え方
逆像法の核となるイメージは
逆像法の考え方の核
しらみつぶしの考え方
というイメージです。
本問を例にとって説明します。
（以下ネタバレ注意）
+ クリック（タップ）して続きを読む
(1) について
従属２変数関数の最大最小問題では文字消去ができれば、文字消去して考えるのが手っ取り早いわけですが、本問は文字消去できません。
そんなとき逆像法の出番です。
例えば
x+3y=1 になるかな？
と考えます。
つまり、x^{2}-6xy+12y^{2}=1 を満たしつつ、x+3y=1 になれるかな？という問題で、
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x^{2}-6xy+12y^{2}= 1 \\ x + 3y = 1 \end{array} \right. \end{eqnarray}
という連立方程式の解 (x \ , \ y) が正の組として存在するかどうかが、x+3y=1 になれるか、なれないかの分かれ目ということになります。
ここから、x が消しやすそうなので、x=1-3y として、x^{2}-6xy+12y^{2}= 1 に代入すると、
(1-3y)^{2}-6y(1-3y)+12y^{2}=1
すなわち
39y^{2}-12y=0
となり、y \gt 0 を考えると、y=\displaystyle \frac{4}{13} ということになります。
このとき
x=1-\displaystyle \frac{12}{13}=\displaystyle \frac{1}{13}
と正の値として存在します。
つまり、
x^{2}-6xy+12y^{2}=1 を満たしつつ、x+3y=1 になれるかな？
という疑問に対して、(x \ , \ y)=(\displaystyle \frac{1}{13} \ , \ \displaystyle \frac{4}{13}) をもってくれば、
x^{2}-6xy+12y^{2}=1 を満たしつつ、x+3y=1 になれる
と結論付けることができるわけです。
じゃあ、
x+3y=2 になるかな？
ということについても同じことですね。
x^{2}-6xy+12y^{2}=1 を満たしつつ、x+3y=2 になれるかな？という問題で、
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x^{2}-6xy+12y^{2}= 1 \\ x + 3y = 2 \end{array} \right. \end{eqnarray}
という連立方程式の解 (x \ , \ y) が正の組として存在するかどうかが、x+3y=2 になれるか、なれないかの分かれ目ということになります。
このように、具体的に
x+3y=1 になるかな？ x+3y=2 になるかな？ x+3y=\displaystyle \frac{1}{3} になるかな？ \cdots
と「しらみつぶしに」調べつくすことができれば、理屈上は x+3y がとり得る値の最大値を最小値は把握できるわけです。
とは言え、本当に具体的な数に対して全て調べつくすのは大変です。
そこで、
x+3y=k になるかな？ なれるとしたらどんな k ？
と、文字の力を借りてしらみつぶすことを考えます。
これにより、
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x^{2}-6xy+12y^{2}= 1 \\ x + 3y = k \end{array} \right. \end{eqnarray}
という連立方程式が正の値の組を解にもつための k の条件を求めることになります。
その k の条件（範囲）こそ、我々がほしい x+3y のとり得る範囲であり、それを把握できれば最大値も求められるわけです。
(2) についても同様の考え方です。