実践演習 極限・微分積分系

計算できないシグマとその評価方法【1999年度 京都大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

 

 

計算できないシグマと、その評価方法についての問題です。

評価とは「大小を比較して不等号をつないでいく」ことです。

(以下ネタバレ注意)

 

 

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(1) の結果を活用すると、示すべき不等式が

$$\displaystyle \sum_{k=1}^n \displaystyle \frac{1}{k^2+1}  \lt \frac{8}{5}$$

というところまでほぐせます。

ところが、左辺を直接計算することはできません。

そこでどうするかと言うと

重要定石

計算できない \(\displaystyle \sum_{ \  }^ \  \)  は面積評価

これは常套手段の1つですので、難関大受験生は身につけておきましょう。

実は本問は \(\displaystyle \sum_{k=1}^n \displaystyle \frac{1}{k^2+1}  \lt \frac{3}{2}\)  という部分まで評価できます。
(こちらの評価は洞察力が必要かと思われます。ぜひ考えてみてください。)

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