実践演習 幾何・ベクトル系

等面四面体【体積計算と存在証明】【2014年度 早稲田大学】【1999年度 京都大学】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

 

4つの面が全て合同である四面体のことを「等面四面体」と言います。

この等面四面体については初見でぶつかると、ほとんどの人がはじき返されることになります。

初見であれば、ひとまずは全力で考えてみてください。

脳に汗をかいて脱水症状になりかけたら、知識として糧にしてしまうのも仕方ありません。

(以下ネタバレ注意)

 

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まともにぶつかると

真正面からぶつかると、体積計算をするにあたり、底面積と高さが必要になります。

4つの面は全て合同なので、どこを底面と見ても構いません。

3辺が 7 ,  8 ,  9  と分かっていますから

余弦定理から \(\cos{ \ }\) を出し、\(\sin{ \ }\) を出し、面積まで「エッチラオッチラ」計算することになるでしょう。

あるいは「ヘロンの公式」ですかね。

その後の高さについてはベクトルなどを駆使して求めていくことになるでしょうか。

口で言うのは簡単ですが、計算したいかと言われると返す言葉がありません。

等面四面体は直方体から切り出せる

等面四面体は直方体から切り出せます。

これは経験がないとツライものがあります。

という今回の等面四面体を

という直方体から切り出すということを利用していきます。

結局は、この等面四面体の体積は

直方体の体積から、4隅の体積を切り取ればよい

ということになります。

類題について

類題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

今度は等面四面体の存在証明です。

昔、自分自身が受験生のときに本問に出会ったときのことです。

という展開図を描き、

「絶対存在するじゃん」

と思ったことがありました。

そして

「鋭角三角形っていう条件っているのか?」

とも思いました。

どうにもこうにも気持ち悪かったので、牛乳パックとハサミでチョキチョキして確かめてみたことがあります。

ここから先は、ご自身の手で確かめてみるのが一番納得がいくと思います。

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