実践演習 方程式・不等式・関数系

等式・不等式の証明【差がつく有名な形】【2009年度 東北大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

 

 

等式・不等式の証明問題の問題として、本問は要点が凝縮されています。

そのためか練習問題として様々な問題集に収録されています。

演習の初期としては手ごろなレベルだと思います。

経験の有無に左右されるポイントや急所を含んでいますが、逆に言えば勉強していれば試験場では確保できる問題です。

(以下ネタバレ注意)

 

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パッと思いつく方針としては

重要

\(x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz=(x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx)\)

という因数分解を活用する方針です。

これについてはちょこちょこ出てくる因数分解なので、準公式として常識化しておきましょう。

(2) の不等式証明については

有名不等式

\(x\) , \(y\) , \(z\) を実数とするとき

\(x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx \geq 0\)

が決め手となります。

これについては

差が付く恒等式

\(x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx=\displaystyle \frac{1}{2}  \{ (x-y)^{2}+(y-z)^{2}+(z-x)^{2} \}\)

という恒等式が急所になりますが、経験の有無で差がつくでしょう。

また、この方針以外にも、与えられた式の特徴を活かした別解も考えられます。

その方針は少し大げさな方針かもしれませんが、勉強にはなると思うので、ぜひ考えてみてもらえたらと思います。

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