実践演習 極限・微分積分系

空間座標における回転体【ベビースターラーメンの回転体】【2003年度 東北大学】

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空間座標における回転体は出題されれば差が付くトピックスです。

難関大を目指すにあたってはしっかりと準備しておきたい話題ですので、しっかりとマスターして周りの受験生に差をつけましょう。

一般に

空間座標における回転体の扱い方

  • 全体像を捨てろ
  • 切ってから回す(先に回すな)
  • 回転の中心からの最大距離・最小距離を捉える

がポイントになる点です。

全体像については「仮に分かったとしても、それが体積を求めることに役に立つのか?」ということを考えれば、考えるだけ無駄です。

むしろ混乱するだけなので、考えない方がいいぐらいです。

例え解き終わっても全体像はよく分かりません。

したがって解く前から悩む必要はありません。

 

切ってから回しても、回してから切っても、「断面」は同じです。

先に回すということは「先に回して全体像をつかもう」ということを無意識にやっているということです。

何度も言いますが、本問を解くのに全体像は不要です。

(以下ネタバレ注意)

 

 

 

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直線を回せ。

三角柱を回せ。

円錐を回せ。

立方体を回せ。

空間座標における回転体においては色々なものを回せと言われます。

その中でも、本問で回せと言われているものは上記の分かりやすいものと比べると、「ん?」となるでしょう。

つまり、「回転前の図形」の把握からスタートしなければいけません。

点 \(P\) が \(xy\) 平面上の直線 \(y=x\) 上

点 \(Q\) が \(xz\) 平面上の円 \(x^{2}+z^{2}=1\) 上

を動くことに注意して、今回の曲面 \(S\) をアニメーションのように図示すると

のように、長さ 1 の棒が倒れていくイメージがつかめると思います。

ベビースターラーメンのようなイメージの曲面が今回の \(S\) です。

これを \(x=u\) で切ったときの切り口は \(\cdots\) ?

この後の流れはここでは伏せますので、しっかりと考えていただきたいと思います。

また、数をこなしてこのトピックスの足元を固めたいという人は

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