実践演習 整数系

桁数と1の位【仮分数の扱いについて】【1989年度 東京大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

 

問題のインパクトが強いためか、結構有名な問題です。

桁数については、難関大志望者であれば落としたくはないレベルです。

問題は1の位です。

自分がこの問題と向き合ったときの印象は

①:この数字に意味はあるのか?

②:\(3^{21}\) って何だ?どこでどう使う?

ということでした。

もし、この数字に意味があり、「この数字じゃなきゃできない」ということであれば、この問題や数字のもつ「特殊性」を見出す必要が出てきます。

逆にこの数字でなくても構わないということであれば、「一般性」を持ち出して議論することになるでしょう。

(以下ネタバレ注意)

 

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とりあえず、\(\displaystyle \frac{10^{210}}{10^{10}+3}\) については、数と見ても、式と見ても「仮分数」です。

式としての仮分数とは \((分子の次数) \geq (分母の次数)\) となっている分数のことです。

数学の様々な分野で言えることですが

重要

仮分数(頭でっかち)は嫌われる

ということが言えます。

今回は言ってみたら \(\displaystyle \frac{x^{210}}{x^{10}+3}\)  のように捉えて「式としての」割り算をしてやりたいと思います。
(ただ、ガチンコの割り算は厳しいので、1つずつ括っていくスタイルで次数を下げていきたいと思います。)

このセオリーに沿って計算を進めていくと、使いどころの分からなかった \(3^{21}\) が現れます。

ここまできたら後は手なりに進めていくだけです。

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