実践演習 極限・微分積分系

有名曲線【カージオイド】【複素数平面からの問いかけ】【2005年度 早稲田大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

 

複素数平面の顔をしていますが、一皮むけば、有名曲線が現れます。

もちろん、その有名曲線特有の知識がなければ解けないとかはないのでご安心ください。

少しぼやくと

今回 \(|z|=1\) を動くとしか書いていません。

\(z\) が半径 1  の円をグルグル動けば、\(w\) も際限なく動き、点 \(w\) の描く曲線の長さは特定されません。

今回は非常に好意的に解釈し、

重なっていない部分を曲線の長さとみなして

考えました。

なので、解答では \(0 \leq \theta \leq 2\pi\) として考えました。

このあたりもどこまで記述すればよいのかで迷うところなので、出題する側ももう少し気を遣って出題してほしいなというのが感想です。

このあたりの注意に関しても【総括(ぼやき)】の中でもう少し突っ込んだ注意も含めて触れておきました。

この記事では注意喚起の意味も含めて、敢えて原文のまま書いてあります。

とりあえず皆さんもひとまずは好意的にとらえて考えてみてください。

 

(以下ネタバレ注意)

 

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点 \(z\) の動きに伴う、点 \(w\) の動きを追う問題では

\(w=\)(\(z\) の式) を \(z=\)(\(w\) の式) の形に直して、\(z\) を縛っている等式に代入することで \(w\) を縛る等式をゲットしにいくのが基本です。

今回は \(z=\)(\(w\) の式) に直すのが億劫なので、\(z=\cos\theta+i\sin\theta\) とおき、\(w=f(\theta)+g(\theta)i\) の形にして、\(w=x+yi\) とおき実部虚部を比較することで

$$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x = f(\theta) \\
y = g(\theta)
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$$

とパラメータ表示します。

あとはパラメータ表示された曲線に関する弧長が求められるかという問題に帰着します。

今回登場する曲線は「カージオイド(心臓形)」と呼ばれる有名曲線です。

カージオイドの登場の仕方としては

カージオイドの登場の仕方

  • パラメータ曲線の1つとして
  • 極方程式として
  • 定円と動円の半径比率1:1のエピサイクロイドとして
  • 円の垂足曲線として

などが有名でしょうか。

こちらもCHECK

円の垂足曲線【動点の動く軌跡と動いた道のり】【2005年度 岡山大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 曲線上の動点 \(T\) における接線に、定点から下ろした垂線の足の軌跡を「垂足曲線」と言います。 本問は円の垂足曲線を扱った問題です。 ...

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でも別の登場の仕方をしていますので、一緒に確認してみるといいと思います。

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