実践演習 方程式・不等式・関数系

放物線と円の共有点の個数【方程式の解の意味】【2015年度 大阪市立大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

放物線と円の共有点の個数について直球で訊いている問題です。

放物線と円の共有点については結構ウルサイので、場当たり的になってしまうことも多いかと思います。

直感的に処理できる部分や、式に教えてもらう部分が混在するところもあるため、一つずつ丁寧に整理していきましょう。

(以下ネタバレ注意)

 

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共有点を考察するにあたって

\(x^{2}+y^{2}=1\) と \(y=ax^{2}+b\)

を連立することを考えます。

よくこの手の問題で解説されているのは

  • \(x^{2}\) を消去する方針

です。

確かに、次数的には \(y\) についての \(2\) 次方程式となるため、処理しやすいという点ではメリットがあります。

ただし、注意していなかったり、根本的な理解に努めていないと事故る可能性も秘めています。

(【総括】でも少し触れています)

それに対して、

  • \(y\) を消去する方針

も考えられます。

そうなると、\(x^{2}+(ax^{2}+b)^{2}=1\) となり、整理すると

\(a^{2}x^{4}+(2ab+1)x^{2}+b^{2}-1=0\)

という \(x\) に関しての 4 次方程式が登場します。

とは言え、見かけ上は4次ですが、\(x^{2}\) を塊と見れば実質は2次の処理でいけます。(複2次の形)

確かに

というように、共有点の個数が4個あるようなケースもあるため、

実数解の個数と共有点の個数がリンクして考えやすい

というメリットがあります。

用意した解答は

  • \(x^{2}\) を消去する方針【路線1】
  • \(y\) を消去する方針【路線2】

の2路線用意してあります。

共有点が2個のケース【(1) について】

このケースは \(-1 \lt b \lt1\) であれば、\(a\) の値に関わらず成立します。

直感的に明らかですが、式的にバックボーンを立てようと思うと、\(y\) を消去する【路線2】の方がやりやすいと思います。

(このあたりは【解答】で確認してください。)

のケースは【路線1】で得る \(y\) の2次方程式が重解をもつという翻訳で進めるのが基本路線ですが、ただ重解をもつだけでなく、\(-1 \lt y \lt 1\) の範囲内に重解をもつという部分まで考える必要があります。

なお、 \(y\) の2次方程式が重解をもつということは、判別式が \(0\) ということになります。

そこで問題提起

なぜ、判別式が \(0\) という処理をした際、

という状況が出てきて

は出てこないのか

これについては【総括】の後で触れています。

ヒントは「重解」という言葉の意味を分かっていますか?ということです。

共有点が3個のケース【(2) について】

というケースなので、直感的に \(b=-1\) のときというのは分かると思います。

ただ、それはあくまで必要条件で、それで十分かと言われるとマズいですね。

ということも考えられるわけです。

つまり、開き具合を司る \(a\) はある程度大きくないといけないわけです。

このあたりをどのように式に教えてもらうかについても【路線1】【路線2】双方でマスターしましょう。

※このあたりは曲率半径の話題とも関わってきますが、その話は別の機会にします。

共有点が4個のケース【(3) について】

むしろ、これが一番分かりやすいかもしれません。

【路線1】の \(y\) の2次方程式の解の意味(交点の \(y\) 座標という意味)も見えやすいです。

【路線2】の \(x\) の4次方程式の解の意味(交点の \(x\) 座標という意味)も見えやすいです。

個人的にこれが (1) でもいいんじゃないかとさえ思います。

類題について

類題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

(2) が今回の話題の円と放物線の共有点の個数に関する考察です。

例題と違い、今回の円 \(C\) には対称性がありません。

したがって、文字消去する際の判断力も問われます。

また、円 \(C\) を

  • \((x-p)^{2}+(y-q)^{2}=r^{2}\)
  • \(x^{2}+y^{2}+ax+by+c=0\)

のどちらで設定するかという判断力も問われます。

この選択によって微妙にとる態度が変わってくると思います。

解答を聞くだけではもったいない問題で、このあたりを考えるのも一興です。

例題の解答はコチラ

類題の解答はコチラ

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