実践演習 極限・微分積分系

意外と唸る極限計算【2007年度 聖マリアンナ医科大ほか】

今回考えてもらう問題はコチラです。

類題2はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

「類題2?」と思うかもしれませんね。

この京都大学の問題はただの極限計算と言いつつも、意外と出来が芳しくないタイプの問題です。

この問題が難なくクリアーできる受験生は問題ありませんが、右往左往するようであれば、目線が定まっていません。

この目線をしっかりと固定するための例題と類題1を準備します。

類題2で右往左往するようであれば、例題、類題1をマスターしてからもう一度チャレンジしてみてください。

恐らく見える景色が変わります。

ここからスライドボックスで隠します。

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例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

類題1はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

例題について

例題はこちら(再掲)(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

例えば

\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}(2^{n}+3^{n})^{\frac{1}{n}}\) であれば

$$\begin{eqnarray}
\displaystyle \lim_{n \to \infty}(2^{n}+3^{n})^{\frac{1}{n}}&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\{3^{n}\{(\displaystyle \frac{2}{3})^{n}+1\}\}^{\frac{1}{n}} \\
&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}3 \cdot \{(\displaystyle \frac{2}{3})^{n}+1\}^{\frac{1}{n}}\\
&=&3
\end{eqnarray}$$

というように、

基本

より強きもので括る

という態度がモノを言います。

これについては極限計算における常套手段の一つです。

一般論では

今回の一般論

\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}(a^{n}+b^{n})^{\frac{1}{n}}\)

であれば

  • \(a^{n}\) と \(b^{n}\) のどちらがより強きものか

ということに注目したくなるでしょう。

そうなると

  • \(0 \leq a \lt b\) のとき
  • \(0 \leq b \lt a\) のとき
  • \(0 \leq a=b\) のとき

という場合分けを自然に行いたくなるはずです。

要領自体は上で行った具体例とほぼ同じです。

類題1について

類題1はこちら(再掲)(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

この問題も一般化してしまい

\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{1}{n} \log{(a^{n}+b^{n})}\)

を求めてしまいます。

この一般論において \(b=a^{2}\) とすればいいわけです。

そして、この一般論は

\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \log{(a^{n}+b^{n})^{\frac{1}{n}}}\)

であり、本質的には例題と同じです。

例題の解答はコチラ

類題1の解答はコチラ

類題2について

類題2はこちら(再掲)(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

例題を経由していると目線が定まっているでしょう。

類題2の解答はコチラ

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